Теорема Ліувілля (комплексний аналіз)

У комплексному аналізі теорема Ліувілля стверджує, що якщо ціла функція $f(z)$ комплексних змінних $z=(z_1,...,z_n)$ є обмеженою, тобто

$|f(z)|⩽M<\mathrm{\infty }$

то $f(z)$ — константа.

Доведення (для випадку ${ℂ}^1$)

Нехай $f(z)$ обмежена на комплексній площині, тобто

$\mathrm{\exists }M\mathrm{\forall }z|f(z)|\le M$

Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної $f(z)$

$f^{\prime }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C_R}{\oint }\frac{f(\xi )}{(\xi -z{)}^2}d\xi$ Де $C_R$ — коло радіуса $R$, що містить точку $z$.

Маємо

$|f^{\prime }(z)|\le \frac{1}{2\pi }M\frac{1}{R^2}2\pi R=\frac{M}{R}$

Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контуру, маємо $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{M}{R}=0$

Тоді $f^{\prime }(z)=0$ і, відповідно, $f(z)$ є константою. Теорема доведена.

Узагальнення

• Якщо $f(z)$ ― ціла функція в ${ℂ}^n$ і для деякого $r\in ℝ$,

$|f(z)|⩽C|z{|}^r$

для достатньо великих |z|, то $f(z)$ — многочлен від змінних $(z_1,\dots ,z_n)$ степеня не вище $r$.

Доведення для однієї змінної.Визначимо:

$g(z)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(z)-f(0)}{z}& z\ne 0\\ f^{\prime }(0)& z=0\end{array}$

Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо

$|g(z)|<c_1+c_2\cdot |z{|}^{n-1}<c^{\prime }\cdot |z{|}^{n-1}$

для достатньо великих |z|.

Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувілля і метод математичної індукції.

• Якщо $u(x)$ ― дійсна гармонічна функція на всьому просторі ${ℝ}^n$,

$u(x)<C(1+|x{|}^r)$

то $u(x)$ — гармонічний многочлен від цих змінних.

Твердження для гармонічних функцій

Гармонічна функція $u(x,y)$ на всій площині не може бути обмеженою зверху або знизу, якщо вона не стала.

Оскільки дійсна і уявна частини цілої комплексної функції є гармонічними функціями, дане твердження є наслідком твердження теореми для цілих функцій. Можна також дати доведення за допомогою інтеграла Пуассона.

Доведення

Нехай гармонічна функція на всій площині $u(x,y)\ge A=const$. Тоді функція $v(x,y)=u(x,y)-A\ge 0$ є також гармонічною на всій площині.
Позначимо через $Q(x,y)$ довільну точку площини, $p=\sqrt{x^2+y^2}$ — відстань від точки $Q(x,y)$ до початку координат, і проведемо круг $K$ з центром у початку координат такого радіуса $R$, щоб точка $Q$ була внутрішньою для цього круга (тобто $R>p$). В силу гармонічності функції $v(x,y)$ зобразимо її в крузі за допомогою інтеграла Пуассона :

$v(Q)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}v(R,\psi )\frac{R^2-p^2}{R^2+p^2-2Rpcos(\psi -\varphi )}d\psi$

тоді отримаємо

$\frac{R-p}{R+p}v(0,0)\le v(Q)\le \frac{R+p}{R-p}v(0,0)$

Перейшовши до границі, коли $R\to \mathrm{\infty }$ , матимемо

$v(0,0)\le v(Q)\le v(0,0)$ тобто $v(Q)=v(0,0)$.

В силу довільності точки $Q$ звідси випливає, що

$u(Q)=v(Q)+A=v(0,0)+A$ стала на всій площині.

Див. також

• Нерівність Гарнака

Посилання

• Шаблон:Planetmath reference

Література

• Шаблон:Cite book
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372