Гіпереліптична крива

Рис. 1. Графік гіпереліптичної кривої $C:y^2=f(x)$ де $$f(x)=x^5-2x^4-7x^3+8x^2+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2).$$

В алгебричній геометрії гіпереліптична крива — алгебрична крива роду $g>1$, задана рівнянням вигляду

$$y^2+h(x)y=f(x)$$

де $f(x)$ — многочлен степеня $n=2g+1>4$ або $n=2g+2>4$ з $n$ різними коренями, а $h(x)$ — многочлен степеня $<g+2$ (якщо $g$ не дорівнює 2, можна прийняти $h(x)=0$).

Гіпереліптична функція — елемент Шаблон:Нп такої кривої або Шаблон:Нп на кривій; ці два поняття ідентичні для еліптичних функцій, але різні для гіпереліптичних функцій.

Рід

Степінь многочлена визначає рід кривої: многочлен степеня $2g+1$ або $2g+2$ дає криву роду $g$. Якщо степінь дорівнює $2g+1$, криву називають Шаблон:Нп. Водночас криву степеня $2g+2$ називають Шаблон:Нп. Це твердження про рід залишається істинним для $g=0$ або 1, але ці особливі випадки не називають «гіпереліптичними». У випадку $g=1$ (якщо вибрати виділену точку) таку криву називають еліптичною.

Постановка та вибір моделі

Хоча ця модель є найпростішим способом опису гіпереліптичних кривих, таке рівняння матиме особливу точку на нескінченності в проєктивній площині. Ця особливість характерна для випадку $n>3$. Тому, якщо несингулярну криву визначають таким рівнянням, майже завжди мають на увазі несингулярну модель (також звану Шаблон:Нп), еквівалентну в сенсі біраціональної геометрії.

Точніше, рівняння визначає квадратичне розширення C(x), і мається на увазі саме це функціональне поле. Особливу точку на нескінченності можна видалити (оскільки це крива) за допомогою процесу нормалізації (інтегрального замикання). Виявляється, що після цього є відкрите покриття кривої двома афінними діаграмами: тією, яка вже задана $$y^2=f(x)$$ і ще однією, заданою як $$w^2=v^{2g+2}f(1/v).$$

Карти склеювання між двома діаграмами задаються як $$(x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})$$ і $$(v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),$$ де б їх не було визначено.

Фактично передбачається геометричне скорочення, причому криву C визначають як розгалужене подвійне покриття проєктивної прямої, Шаблон:Нп відбувається в коренях f, а також, для непарних n, у точці на нескінченності. Таким чином, випадки $n=2g+1$ і $2g+2$ можна об'єднати, оскільки, щоб перемістити будь-яку точку розгалуження від нескінченності, можна також використати автоморфізм проєктивної площини.

Використання формули Рімана — Гурвіца

За допомогою Шаблон:Нп гіпереліптичну криву роду $g$ визначають рівнянням степеня $n=2g+2$. Припустимо, $f:X\to P^1$ — розгалужене покриття зі ступенем галуження 2, де $X$ — крива з родом $g$, а $P^1$ — сфера Рімана. Нехай $g_1=g$ і $g_0$ — рід $P^1(=0)$, тоді формула Рімана — Гурвіца дає

$2-2g_1=2(2-2g_0)-\sum _{s\in X}(e_s-1)$

де $s$ є над усіма розгалуженими точками на $X$. Кількість точок галуження дорівнює n, і в кожній точці галуження $s$ маємо $e_s=2$, тому формула набуває вигляду

$2-2\times g=2(2-2\times 0)-n\times (2-1)$

тому $n=2g+2$.

Поява і застосування

Усі криві роду 2 є гіпереліптичними, але для роду ≥ 3 родова крива не є гіпереліптичною. Це видно евристично з перевірки розмірності простору модулів. Підраховуючи константи, при $n=2g+2$ набір з n точок, що підлягають дії автоморфізмів проєктивної прямої, має $(2g+2)-3$ ступенів вільності, що менше, ніж $3g-3$, кількість модулів кривої роду $g$, якщо $g$ не дорівнює 2. Значно більше відомо про гіпереліптичне геометричне місце точок у просторі модулів кривих Шаблон:Прояснити, хоча складніше показати загальні негіпереліптичні криві за допомогою простих моделей. Однією з геометричних характеристик гіпереліптичних кривих є Шаблон:Нп. Детальніша геометрія негіпереліптичних кривих походить із теорії Шаблон:Нп, канонічне відображення є 2-до-1 на гіпереліптичних кривих, але 1-до-1 в інших випадках для g > 2. Шаблон:Нп — це криві, які відповідають кубічному, а не квадратному кореню многочлена.

Визначення за допомогою квадратичних розширень поля раціональної функції працює для полів загалом, за винятком характеристики 2; у всіх випадках доступне геометричне визначення як розгалужене подвійне покриття проєктивної прямої, якщо припускається, що розширення є роздільним.

Гіпереліптичні криві можуть бути використані в Шаблон:Нп для криптосистем, заснованих на задачі дискретного логарифмування.

Гіпереліптичні криві також складають цілі зв'язні компоненти певних шарів простору модулів абелевих диференціалів.

Гіпереліптичність кривих роду 2 використано для підтвердження гіпотези Громова Шаблон:Нп у випадку заповнень роду =1.

Класифікація

Гіпереліптичні криві даного роду g мають простір модулів, тісно пов'язаний із кільцем інваріантів бінарної форми степеня $2g+2$.

Історія

Вперше гіпереліптичні функції опублікував Шаблон:Нп (1812—1847) у своїй останній статті Абелеві трансценденти першого порядку (Шаблон:Lang-de; Шаблон:Нп, том 35, 1847). Незалежно над цим питанням працював Шаблон:Нп і опублікував статтю Обернення ультраеліптичних інтегралів першого роду (Шаблон:Lang-de; Mémoires des savants etc., том 11, 1851).

Див. також

• Поверхня Больци
• Шаблон:Нп

Посилання

• Шаблон:SpringerEOM
• A user's guide to the local arithmetic of hyperelliptic curves Шаблон:Ref-en