Список рядів та сум

Цей список містить формули для рядів та сум.

• Тут $0^0$ приймається рівним $1$
• $\{x\}$ позначає дробову частину $x$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ — біноміальний коефіцієнт
• $\exp (x)$ — експоненційна функція
• $B_n(x)$ — $n$-тий поліном Бернуллі
• $B_n$ — $n$-те число Бернуллі
• $E_n$ — $n$-те число Ейлера
• $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функція
• ${\psi }_n(z)$ — полігамма-функція
• $\zeta (s)$ — дзета-функція Рімана
• ${\mathrm{Li}}_s(z)$ — полілогарифм

Суми степенів

• $\sum _{k=0}^n{k}^s=\frac{(n+1{)}^{s+1}}{s+1}+\sum _{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(n+1{)}^{s-k+1}$ — Шаблон:Не перекладено

Значення при $n=1,2,\dots ,12:$

• $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1{)}^3-n^3-1}{6}$
• $\sum _{k=p}^{q}k=p+(p+1)+(p+2)+(p+3)+\dots +(q-1)+q=\frac{(p+q)(q-p+1)}{2}$

• $\sum _{k=1}^{n}2k=2+4+6+8+10+12+14+16+\dots +(2n-2)+2n=n(n+1)$

• $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2$ — Шаблон:Не перекладено
• $\sum _{k=1}^n{k}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^5=\frac{n^2(n+1{)}^2(2n^2+2n-1)}{12}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^7=\frac{n^2(n+1{)}^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^8=\frac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)}{24}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^9=\frac{n^2(n+1{)}^2(n^2+n-1)(2n^4+4n^3-n^2-3n+3)}{20}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^{10}=\frac{n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1)(3n^6+9n^5+2n^4-11n^3+3n^2+10n-5)}{66}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^{11}=\frac{n^2(n+1{)}^2(2n^8+8n^7+4n^6-16n^5-5n^4+26n^3-3n^2-20n+10)}{24}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^{12}=\frac{n(n+1)(2n+1)(105n^{10}+525n^9+525n^8-1050n^7-1190n^6+2310n^5+1420n^4-3285n^3-287n^2+2073n-691)}{2730}$

Суми степенів непарних чисел:

• $\sum _{k=1}^n(2k-1)=1+3+5+7+9+\dots +(2n-3)+(2n-1)=n^2$
• $\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2=1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+\dots +(2n-3{)}^2+(2n-1{)}^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}$
• $\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^3=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+\dots +(2n-3{)}^3+(2n-1{)}^3=n^2(2n^2-1)$

Шаблон:Не перекладено:

• $\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{2n}}=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$

Значення при $n=1,2,3:$

• $\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ — ряд обернених квадратів
• $\zeta (4)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$
• $\zeta (6)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k^{2s}}=(1-\frac{1}{2^{2s-1}})\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{2s}}$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^4}=\frac{{\pi }^4}{96}$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^6}=\frac{{\pi }^6}{960}$

Степеневі ряди

Полілогарифми

Скінченні суми:

• $\sum _{k=m}^n{z}^k=\frac{z^m-z^{n+1}}{1-z}$ — геометрична прогресія
• $\sum _{k=0}^n{z}^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$
• $\sum _{k=1}^n{z}^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}-1=\frac{z-z^{n+1}}{1-z}$
• $\sum _{k=1}^{n}k{z}^k=z\frac{1-(n+1)z^n+n{z}^{n+1}}{(1-z{)}^2}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^2{z}^k=z\frac{1+z-(n+1{)}^2{z}^n+(2n^2+2n-1)z^{n+1}-n^2{z}^{n+2}}{(1-z{)}^3}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^m{z}^k={\left(z\frac{d}{dz}\right)}^m\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$

Нескінченні суми, виконується при $|z|<1$:

• ${\mathrm{Li}}_n(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^n}$

Корисна властивість для рекурсивного обчислення полілогарифмів:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\mathrm{Li}}_n(z)=\frac{{\mathrm{Li}}_{n-1}(z)}{z}$

Полілогарифми малих по модулю цілих порядків:

• ${\mathrm{Li}}_1(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k}=-\ln (1-z)$
• ${\mathrm{Li}}_0(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^k=\frac{z}{1-z}$
• ${\mathrm{Li}}_{-1}(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{z}^k=\frac{z}{(1-z{)}^2}$
• ${\mathrm{Li}}_{-2}(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^2{z}^k=\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}$
• ${\mathrm{Li}}_{-3}(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^3{z}^k=\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z{)}^4}$
• ${\mathrm{Li}}_{-4}(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^4{z}^k=\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z{)}^5}$

Експоненціальні функції

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=e^z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\frac{z^k}{k!}=z{e}^z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^2\frac{z^k}{k!}=(z+z^2)e^z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^3\frac{z^k}{k!}=(z+3z^2+z^3)e^z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^4\frac{z^k}{k!}=(z+7z^2+6z^3+z^4)e^z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^n\frac{z^k}{k!}=z\frac{d}{dz}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^{n-1}\frac{z^k}{k!}=e^z{T}_n(z)$

де $T_n(z)$ — Шаблон:Не перекладено.

Тригонометричні, обернені тригонометричні, гіперболічні та обернені гіперболічні функції

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\mathrm{sh}z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{(2k)!}=\cos z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k}}{(2k)!}=\mathrm{ch}z$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}{B}_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\mathrm{tg}z,|z|<\frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2^{2k}-1)2^{2k}{B}_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\mathrm{th}z,|z|<\frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{2}^{2k}{B}_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\mathrm{ctg}z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2k}{B}_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\mathrm{cth}z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\csc z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{-(2^{2k}-2)B_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\mathrm{csch}z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{z}^{2k}}{(2k)!}=\mathrm{sech}z,|z|<\frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2k}{z}^{2k}}{(2k)!}=\sec z,|z|<\frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{z}^{2k}}{(2k)!}=\mathrm{ver}z$ — синус-верзус
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{z}^{2k}}{2(2k)!}=\mathrm{hav}z$ — гаверсинус
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!{)}^2(2k+1)}=\arcsin z,|z|⩽1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!{)}^2(2k+1)}=\mathrm{arsh}z,|z|⩽1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{2k+1}=\mathrm{arctg}z,|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{2k+1}=\mathrm{arth}z,|z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!{)}^2}=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{2}\right),|z|⩽1$

Інші ряди з факторіалами у знаменниках

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!}{2^{4k}\sqrt{2}(2k)!(2k+1)!}{z}^k=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-z}}{z}},|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2k}(k!{)}^2}{(k+1)(2k+1)!}{z}^{2k+2}={(\arcsin z)}^2,|z|⩽1$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{k=0}^{n-1}(4k^2+{\alpha }^2)}{(2n)!}{z}^{2n}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k+1{)}^2+{\alpha }^2]}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}=e^{\alpha \arcsin z},|z|⩽1$

Біноміальні коефіцієнти

• $(1+z{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})z^k,|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +k-1}{k})z^k=\frac{1}{(1-z{)}^{\alpha }},|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})z^k=\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z},|z|\le \frac{1}{4}$ — генератриса чисел Каталана
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})z^k=\frac{1}{\sqrt{1-4z}},|z|<\frac{1}{4}$ — генератриса центральних біноміальних коефіцієнтів
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+\alpha }{k})z^k=\frac{1}{\sqrt{1-4z}}{\left(\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\right)}^{\alpha },|z|<\frac{1}{4}$

Гармонічні числа

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{H}_k{z}^k=\frac{-\ln (1-z)}{1-z},|z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k}{k+1}{z}^{k+1}=\frac{1}{2}{[\ln (1-z)]}^2,|z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{H}_{2k}}{2k+1}{z}^{2k+1}=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}z\log (1+z^2),|z|<1$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{2n}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}\frac{z^{4n+2}}{4n+2}=\frac{1}{4}\mathrm{arctg}z\log \frac{1+z}{1-z},|z|<1$

Суми біноміальних коефіцієнтів

• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2^n$
• $\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0,$ де $n\ne 0$
• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{m+1})$
• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k-1}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})$
• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta }{n-k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta }{n})$ — тотожність Вандермонда

Тригонометричні функції

Ряди Фур'є

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (k\theta )}{k}=-\frac{1}{2}\ln (2-2\cos \theta )=-\ln (2\sin \frac{\theta }{2}),0<\theta <2\pi$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (k\theta )}{k}=\frac{\pi -\theta }{2},0<\theta <2\pi$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\cos (k\theta )=\frac{1}{2}\ln (2+2\cos \theta )=\ln (2\cos \frac{\theta }{2}),0\le \theta <\pi$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\sin (k\theta )=\frac{\theta }{2},-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (2k\theta )}{2k}=-\frac{1}{2}\ln (2\sin \theta ),0<\theta <\pi$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2k\theta )}{2k}=\frac{\pi -2\theta }{4},0<\theta <\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos [(2k+1)\theta ]}{2k+1}=\frac{1}{2}\ln (\mathrm{ctg}\frac{\theta }{2}),0<\theta <\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin [(2k+1)\theta ]}{2k+1}=\frac{\pi }{4},0<\theta <\pi$,
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi kx)}{k}=\pi (\frac{1}{2}-\{x\}),x\in ℝ$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(2\pi kx\right)}{k^{2n-1}}=(-1{)}^n\frac{(2\pi {)}^{2n-1}}{2(2n-1)!}{B}_{2n-1}(\{x\}),x\in ℝ,n\in \mathbb{N}$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left(2\pi kx\right)}{k^{2n}}=(-1{)}^{n-1}\frac{(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}{B}_{2n}(\{x\}),x\in ℝ,n\in \mathbb{N}$
• $B_n(x)=-\frac{n!}{2^{n-1}{\pi }^n}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^n}\cos (2\pi kx-\frac{\pi n}{2}),0<x<1$

Скінченні суми

• $\sum _{k=0}^n\sin (\theta +k\alpha )=\frac{\sin \frac{(n+1)\alpha }{2}\sin (\theta +\frac{n\alpha }{2})}{\sin \frac{\alpha }{2}}$
• $\sum _{k=0}^n\cos (\theta +k\alpha )=\frac{\sin \frac{(n+1)\alpha }{2}\cos (\theta +\frac{n\alpha }{2})}{\sin \frac{\alpha }{2}}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\sin \frac{\pi k}{n}=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2n}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\sin \frac{2\pi k}{n}=0$
• $\sum _{k=0}^{n-1}{\csc }^2(\theta +\frac{\pi k}{n})=n^2{\csc }^2(n\theta )$
• $\sum _{k=1}^{n-1}{\csc }^2\frac{\pi k}{n}=\frac{n^2-1}{3}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}{\csc }^4\frac{\pi k}{n}=\frac{n^4+10n^2-11}{45}$

Ряди раціональних функцій

Ряд раціональних функцій від $n$ можна звести до скінченної суми полігамма-функцій за допомогою розкладання на прості дроби. Це також можна застосувати до обчислення скінченних сум раціональних функцій за сталий час, навіть якщо сума містить велику кількість членів.

• $\sum _{n=a+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a}{n^2-a^2}=\frac{1}{2}{H}_{2a}$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{1+a\pi \mathrm{cth}(a\pi )}{2a^2}$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4+4a^4}=\frac{1}{8a^4}+\frac{\pi (\mathrm{sh}(2\pi a)+\sin (2\pi a))}{8a^3(\mathrm{ch}(2\pi a)-\cos (2\pi a))}$

Ряди експоненціальних функцій

• $\frac{1}{\sqrt{p}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{2\pi i{n}^{2}q}{p}\right)=\frac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{2q}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp (-\frac{\pi i{n}^{2}p}{2q})$ — Шаблон:Не перекладено
• $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}$

Числові ряди

Ці числові ряди можна знайти за допомогою рядів, наведених вище.

Чергування знаків в гармонійному ряді

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln 2$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{2k-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}$

Суми обернених факторіалів

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots =e$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k)!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{8!}+\cdots =\frac{1}{2}(e+\frac{1}{e})=\mathrm{ch}1$

Тригонометрія і π

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\frac{1}{9!}+\cdots =\sin 1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}=\frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}+\frac{1}{8!}+\cdots =\cos 1$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{17}+\cdots =\frac{1}{2}(\pi \mathrm{cth}\pi -1)$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k^2+1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}+\frac{1}{17}+\cdots =\frac{1}{2}(\pi \mathrm{csch}\pi -1)$
• $3+\frac{4}{2\times 3\times 4}-\frac{4}{4\times 5\times 6}+\frac{4}{6\times 7\times 8}-\frac{4}{8\times 9\times 10}+\cdots =\pi$

Обернені трикутні числа

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\cdots =2$

де $T_n=\sum _{k=1}^{n}k$ — $n$-те трикутне число

Обернені тетраедричні числа

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T{e}_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}+\frac{1}{35}+\cdots =\frac{3}{2}$

де $T{e}_n=\sum _{k=1}^n{T}_k$ — $n$-те тетраедричне число

Логарифми

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\frac{1}{7\times 8}+\frac{1}{9\times 10}+\cdots =\ln 2$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{k}k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{64}+\frac{1}{160}+\cdots =\ln 2$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{2^{k}k}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{3^{k}k}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})-(\frac{1}{8}+\frac{1}{18})+(\frac{1}{24}+\frac{1}{81})-(\frac{1}{64}+\frac{1}{324})+\cdots =\ln 2$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^{k}k}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^{k}k}=(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{18}+\frac{1}{32})+(\frac{1}{81}+\frac{1}{192})+(\frac{1}{324}+\frac{1}{1024})+\cdots =\ln 2$

Див. також

• Тригонометричні функції
• Гіперболічні функції
• Ряд Тейлора
• Енциклопедія послідовностей цілих чисел

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр