Центральний біноміальний коефіцієнт

У математиці $n$ -й центральний біноміальний коефіцієнт визначається таким виразом у термінах біноміальних коефіцієнтів

(\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}}

для всіх

n \geq 0

.

Вони отримали назву тому, що вони містяться точно посередині парних рядів у трикутнику Паскаля. Перші кілька центральних біноміальних коефіцієнтів, починаючи з $n = 0$ , виписано нижче:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … Шаблон:OEIS

Властивості

Твірна функція:

\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}} = 1 + 2 x + 6 x^{2} + 20 x^{3} + 70 x^{4} + 252 x^{5} + \dots .

За формулою Стірлінґа отримуємо:

(\binom{2 n}{n}) \sim \frac{4^{n}}{\sqrt{π n}}

при

n \to \infty

.

Корисні обмеження:

\frac{4^{n}}{\sqrt{4 n}} \leq (\binom{2 n}{n}) \leq \frac{4^{n}}{\sqrt{3 n + 1}}

для кожного

n \geq 1

Якщо потрібна більша точність:

(\binom{2 n}{n}) = \frac{4^{n}}{\sqrt{π n}} (1 - \frac{c_{n}}{n})

де

\frac{1}{9} < c_{n} < \frac{1}{8}

для всіх

n \geq 1

.

З цим поняттям тісно пов'язані так звані числа Каталана, $C_{n}$ _. Їх формула:

C_{n} = \frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n}) = (\binom{2 n}{n}) - (\binom{2 n}{n + 1})

для кожного

n \geq 0

.

Узагальненням центральних біноміальних коефіцієнтів можна вважати числа $\frac{Γ (2 n + 1)}{Γ (n + 1)^{2}} = \frac{1}{n B (n + 1, n)}$ , для всіх дійсних $n$ , за яких вираз визначений, де $Γ (x)$ — гамма-функція, а $B (x, y)$ — бета-функція.

Див. також

Припущення Ердеша про безквадратність

Посилання

Центральний біноміальний коефіцієнт

Властивості

Див. також

Посилання

Навігаційне меню

Пошук