Інверсія кривої

Зелену кардіоїду побудовано інверсією червоної параболи відносно пунктирного кола.

Інве́рсія криво́ї — результат застосування операції інверсії до заданої кривої C. Відносно фіксованого кола з центром O і радіусом k інверсія точки Q — це точка P, що лежить на промені OQ, і OP•OQ = k². Інверсія кривої C — це множина всіх точок P, що є інверсіями точок Q, які належать кривій C. Точку O в цій побудові називають це́нтром інве́рсії, коло називають ко́лом інве́рсії, а k — ра́діусом інве́рсії.

Інверсія, застосована двічі, дасть тотожне перетворення, так що інверсія, застосована до інверсії кривої відносно того ж кола, дасть початкову криву. Точки самого кола переходять у себе, так що коло інверсії під час операції не змінюється.

Рівняння

Інверсією точки (x, y) відносно одиничного кола є (X, Y), де:

$X=\frac{x}{x^2+y^2},Y=\frac{y}{x^2+y^2}$,

або, що еквівалентно:

$x=\frac{X}{X^2+Y^2},y=\frac{Y}{X^2+Y^2}$.

Так що інверсія кривої, визначеної рівнянням f(x, y) = 0, відносно одиничного кола задається рівнянням:

$f(\frac{X}{X^2+Y^2},\frac{Y}{X^2+Y^2})=0$.

З цього рівняння випливає, що інверсія алгебричної кривої степеня n відносно кола дає алгебричну криву степеня не більше 2n.

Так само, інверсією кривої, заданої параметричним рівнянням:

$x=x(t),y=y(t)$,

відносно одиничного кола буде:

$X=X(t)=\frac{x(t)}{x(t{)}^2+y(t{)}^2},Y=Y(t)=\frac{y(t)}{x(t{)}^2+y(t{)}^2}.$

Звідси випливає, що колова інверсія раціональної кривої є також раціональною кривою.

Узагальнюючи, інверсією кривої, заданої рівнянням f(x, y) = 0, відносно кола з центром в (a, b) і радіусом k є

$f(a+\frac{k^2(X-a)}{(X-a{)}^2+(Y-b{)}^2},b+\frac{k^2(Y-b)}{(X-a{)}^2+(Y-b{)}^2})=0.$

Інверсією кривої, заданої параметрично:

$x=x(t),y=y(t)$,

відносно того ж кола буде:

$X=X(t)=a+\frac{k^2(x(t)-a)}{(x(t)-a{)}^2+(y(t)-b{)}^2},Y=Y(t)=b+\frac{k^2(y(t)-b)}{(x(t)-a{)}^2+(y(t)-b{)}^2}$.

У полярній системі координат рівняння простіші, якщо розглядаємо інверсію відносно одиничного кола. Інверсією точки (r, θ) відносно одиничного кола є (R, Θ), де

$R=\frac{1}{r},\mathrm{\Theta }=\theta$,

або, що еквівалентно:

$r=\frac{1}{R},\theta =\mathrm{\Theta }$.

Таким чином, інверсія кривої f(r, θ) = 0 визначається рівнянням f(1/R, Θ) = 0, а інверсією кривої r = g(θ) буде r = 1/g(θ).

Приклади

Застосування перетворення, наведеного вище, до лемніскати Бернуллі

$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2)$

дасть

$a^2(u^2-v^2)=1$

— рівняння гіперболи. Оскільки інверсія є біраціональним перетворенням і гіпербола є раціональною кривою, це показує, що лемніската також є раціональною кривою, іншими словами, крива має рід нуль. Якщо застосувати інверсію до кривої Ферма xⁿ + yⁿ = 1, де n непарне, отримаємо

$(u^2+v^2{)}^n=u^n+v^n.$

Будь-яка раціональна точка на кривій Ферма має відповідну раціональну точку на цій кривій, що дає еквівалентне формулювання великої теореми Ферма.

Окремі випадки

Для простоти в як коло інверсії в прикладах використаємо одиничне коло. Результат інверсії для інших кіл можна отримати перетворенням початкової кривої.

Прямі

Якщо пряма проходить через початок координат, її рівняння в полярних координатах буде θ = θ₀, де θ₀ сталий. Рівняння не змінюється за інверсії.

Рівняння в полярних координатах прямої, що не проходить через початок координат,

$r\cos (\theta -{\theta }_0)=a$

і рівнянням інверсії кривої буде

$r=a\cos (\theta -{\theta }_0)$

яке задає коло, що проходить через початок координат. Застосування інверсії вже до цього кола показує, що інверсією кола, яке проходить через початок координат, буде пряма.

Кола

У полярних координатах загальне рівняння кола, що не проходить через початок координат, має вигляд

$r^2-2r_{0}r\cos (\theta -{\theta }_0)+r_0^2-a^2=0(a,r>0,a\ne r_0),$

де a — радіус і (r₀, θ₀) — полярні координати центра. Рівнянням інверсної кривої буде

$1-2r_{0}r\cos (\theta -{\theta }_0)+(r_0^2-a^2)r^2=0,$

або

$r^2-\frac{2r_0}{r_0^2-a^2}r\cos (\theta -{\theta }_0)+\frac{1}{r_0^2-a^2}=0.$

Це рівняння кола з радіусом

$A=\frac{a}{|r_0^2-a^2|}$

і центром у точці з координатами

$(R_0,{\mathrm{\Theta }}_0)=(\frac{r_0}{r_0^2-a^2},{\theta }_0).$

Зауважимо, що R₀ може бути від'ємним.

Якщо початкове коло перетинається з одиничним колом, то центри цих двох кіл і точка перетину утворюють трикутник зі сторонами 1, a, r₀ і цей трикутник буде прямокутним, якщо

$r_0^2=a^2+1.$

Але з рівняння вище випливає, що початкове коло збігається з його інверсією тільки в разі, коли

$r_0^2-a^2=1.$

Таким чином, інверсія кола збігається з початковим колом тоді й лише тоді, коли коло перетинає одиничне коло під прямими кутами.

Параболи з центром інверсії у вершині

Рівнянням параболи, якщо повернути її так, щоб вісь стала горизонтальною, буде x = y². У полярних координатах це перетворюється на

$r=\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }.$

Рівнянням інверсної кривої тоді буде

$r=\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }=\sin \theta \tan \theta$,

і це цисоїда Діокла.

Конічні перетини з центром інверсії у фокусі

Рівняння в полярних координатах конічного перетину з фокусом у початку координат, з точністю до подібності

$r=\frac{1}{1+e\cos \theta }$,

де e — ексцентриситет. Інверсією цієї кривої буде:

$r=1+e\cos \theta$,

і це — рівняння равлика Паскаля. Якщо e = 0, це коло інверсії. Якщо 0 < e < 1, початкова крива є еліпсом і її інверсія — це замкнута крива з ізольованою точкою в початку координат. Якщо e = 1, початкова крива є параболою і її інверсія є кардіоїдою, що має касп у початку координат. Якщо e > 1, початкова крива є гіперболою і її інверсія утворює дві петлі з Шаблон:Не перекладено на початку координат.

Еліпси і гіперболи з центрами інверсії у вершинах

Загальним рівнянням еліпса або гіперболи є:

$\frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1$.

Перетворимо рівняння так, щоб початок координат став вершиною:

$\frac{(x-a{)}^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1$,

і після перетворення:

$\frac{x^2}{2a}\pm \frac{a{y}^2}{2b^2}=x$

або, замінивши константи:

$c{x}^2+d{y}^2=x$.

Зауважимо, що парабола, розглянута вище, тепер потрапляє в цю схему, якщо покласти c = 0 і d = 1. Рівнянням інверсної кривої буде:

$\frac{c{x}^2}{(x^2+y^2{)}^2}+\frac{d{y}^2}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{x}{x^2+y^2}$

або

$x(x^2+y^2)=c{x}^2+d{y}^2$.

Це рівняння описує сімейство кривих, які називаються конхоїдами Слюза. Це сімейство включає, на додачу до цисоїди Діокла, описаної вище, трисектрису Маклорена (d = −c/3) і праву строфоїду (d = −c).

Еліпси і гіперболи з центрами інверсії в центрі

Рівняння еліпса або гіперболи:

$c{x}^2+d{y}^2=1$,

після операції інвертування:

$(x^2+y^2{)}^2=c{x}^2+d{y}^2$

і це — лемніската Бута. Якщо d = −c, це лемніската Бернуллі.

Конічні перерізи з довільною точкою інверсії

Інверсія конічного перетину (відмінного від кола) є циркулярною кривою третього порядку, якщо центр інверсії лежить на кривій, і біциркулярною кривою четвертого порядку в іншому випадку. Конічні перетини є раціональними, так що інвертовані криві теж раціональні. І навпаки, будь-яка раціональна циркулярна крива третього порядку або раціональна біциркулярна крива четвертого порядку є інверсією конічного перетину. Фактично будь-яка з цих кривих повинна мати особливість, і якщо взяти цю точку за центр інверсії, інверсна крива буде конічним перетином.

Аналагматичні криві

Аналагмати́чна крива́ — це крива, яка при інверсії переходить у себе. До них належать коло, овал Кассіні і трисектриса Маклорена.

Див. також

• Шаблон:Не перекладено
• Інверсія (геометрія)

Посилання

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• «Inversion» на сайті Visual Dictionary Of Special Plane Curves Шаблон:Webarchive
• «Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Шаблон:Webarchive
• Визначення на сайті MacTutor «знамениті криві» Шаблон:Webarchive. Цей сайт також містить приклади інверсних кривих і Java-аплет для перегляду інверсних кривих зі списку.
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр