Точка зламу

Точка зламу або кутова точка — особлива точка кривої, яка має властивість, що гілки кривої, на які ця точка ділить початкову криву, мають у цій точці різні (односторонні) дотичні. Функція не є гладкою в даній точці.

Кажуть, що функція має точку зламу, якщо графік функції має точку зламу. Функція має точку зламу, якщо вона має різні праву і ліву похідні, тобто, виконується нерівність $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}(x)$ і хоча б одна з них скінченна (права або ліва границя не прямує до $\pm \mathrm{\infty }$).

Точкою зламу функції $y=f(x)$ є критична точка першого роду в якій похідна функції має розрив (за винятком випадку нескінченних односторонніх похідних одного знака), тобто права і ліва похідні не збігаються. Точка зламу нерідко є точкою локального екстремуму, в тому випадку якщо похідні зліва і справа мають різні знаки.

Приклад: функція $y=|x|$

функція $y=|x|$ є неперервною в точці (0,0). Похідна дорівнює $y^{\prime }=sgn(x)$, яка має розрив у точці (0,0). $f{\text{'}}_{+}(0)=1;f{\text{'}}_{-}(0)=-1$ — права і ліва похідні не збігаються. Таким чином точка (0,0) є точкою зламу функції.

Функція $y=|x|$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Див. також

• Касп
• Диференційовна функція