Зміна базису

Шаблон:Multiple image У лінійній алгебрі, базис для векторного простору це лінійно незалежна множина для якої цей простір є лінійною оболонкою. Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів. Базис векторного простору розмірності n це множина з n векторів Шаблон:Nowrap, які називають базисними векторами, з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну лінійну комбінацію базисних векторів. Матриці переходу операторів також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних представлень в іншому базисі. Такий перехід називається зміною базису.

Хоча символ R, що ми його використовуємо нижче може позначати поле дійсних чисел, результати дійсні і, якщо R замінено на будь-яке поле F. Хоча нижче використано термінологію векторних просторів, обговорені результати дійсні і тоді коли R це комутативне кільце а векторний простір повсюдно замінено на вільний R-модуль.

Матриця переходу

Означення

Матрицею переходу в $n$-вимірному просторі від базису $𝒜=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$ до базису $ℬ=⟨{𝐛}_1,{𝐛}_2,\dots ,{𝐛}_n⟩$ називається квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів $⟨{𝐛}_1,{𝐛}_2,\dots ,{𝐛}_n⟩$ у базисі $⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$.

А саме нехай виконуються рівності (де всі коефіцієнти однозначно визначені, бо $⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$ є базисом):

${𝐛}_1={\alpha }_{11}{𝐚}_1+{\alpha }_{12}{𝐚}_2+\dots +{\alpha }_{1n}{𝐚}_n$

${𝐛}_2={\alpha }_{21}{𝐚}_1+{\alpha }_{22}{𝐚}_2+\dots +{\alpha }_{2n}{𝐚}_n$

$\cdots$.

${𝐛}_n={\alpha }_{n1}{𝐚}_1+{\alpha }_{n2}{𝐚}_2+\dots +{\alpha }_{nn}{𝐚}_n.$

Тоді матриця переходу має вигляд:

$B(𝒜,ℬ)=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{21}& \dots & {\alpha }_{n1}\\ {\alpha }_{12}& {\alpha }_{22}& \dots & {\alpha }_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_{1n}& {\alpha }_{2n}& \dots & {\alpha }_{nn}\end{array}\right)$

Якщо записувати базиси за допомогою вектор-рядків елементами яких є базисні вектори, то можна у матричній формі записати:

$⟨{𝐛}_1,{𝐛}_2,\dots ,{𝐛}_n⟩=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩\cdot B(𝒜,ℬ)=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{21}& \dots & {\alpha }_{n1}\\ {\alpha }_{12}& {\alpha }_{22}& \dots & {\alpha }_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_{1n}& {\alpha }_{2n}& \dots & {\alpha }_{nn}\end{array}\right).$

Властивості

• Матрицею переходу від довільного базису $𝒜=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$ до самого себе є одинична матриця.
• Якщо $𝒜=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$, $ℬ=⟨{𝐛}_1,{𝐛}_2,\dots ,{𝐛}_n⟩$ і $𝒞=⟨{𝐜}_1,{𝐜}_2,\dots ,{𝐜}_n⟩$ є трьома базисами одного векторного простору і $B(𝒜,ℬ)$ є матрицею переходу від $𝒜$ до базису $ℬ,$ а $B(ℬ,𝒞)$ є матрицею переходу від базису $ℬ$ до базису $𝒞$, то матриця переходу від $𝒜$ до $𝒞$ є добутком цих матриць:

$B(𝒜,𝒞)=B(ℬ,𝒞)\cdot B(𝒜,ℬ)$

• Зокрема із попереднього випливає, що матриця переходу між будь-якими матрицями є невиродженою і матриця зворотного переходу є оберненою до даної матриці переходу:

$B(ℬ,𝒜)=(B(𝒜,ℬ){)}^{-1}$.

• Якщо розглядається векторний простір над полем дійсних чисел і базис $𝒜=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$ є ортонормованим щодо деякого скалярного добутку на просторі, то базис $ℬ=⟨{𝐛}_1,{𝐛}_2,\dots ,{𝐛}_n⟩$ буде ортонормованим тоді і тільки тоді, коли матриця переходу $B(𝒜,ℬ)$ буде ортогональною. У випадку комплексних векторних просторів таке саме твердження справедливе для унітарних матриць і ермітових скалярних добутків.

Перетворення координат вектора при зміні базису

Нехай деякий довільний вектор $𝐱$ виражається через вектори у базисах $𝒜=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$ і $ℬ=⟨{𝐛}_1,{𝐛}_2,\dots ,{𝐛}_n⟩$ як

$𝐱=x_1{𝐚}_1+x_2{𝐚}_2+\dots +x_n{𝐚}_n=\sum _i{x}_i{𝐚}_i,$

і

$𝐱=y_1{𝐛}_1+y_2{𝐛}_2+\dots +y_n{𝐛}_n=\sum _i{y}_i{𝐛}_i.$

Ці рівності дозволяють ввести координатні вектор-стовпці і за допомогою матричного добутку і означення матриці переходу записати:

$𝐱=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=⟨{𝐛}_1,{𝐛}_2,\dots ,{𝐛}_n⟩\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩\cdot B(𝒜,ℬ)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right).$

Із однозначності запису вектора через базис звідси випливає формула перетворення координат при зміні базису:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=B(𝒜,ℬ)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right).$

Тобто якщо координати деякого вектора у базисі $ℬ$ утворюють вектор стовпець $y$, а у базисі $𝒜$ утворюють вектор стовпець $x$, то

$x=B(𝒜,ℬ)y.$

Важливо помітити зміну порядку у цій формулі. Якщо матриця $B(𝒜,ℬ)$ визначає перехід від базису $𝒜$ до базису $ℬ$, то формула перетворення координат задає перехід навпаки від координат у базисі $ℬ$ до координат у базисі $𝒜$. Тому матрицю $B(𝒜,ℬ)$ можна також називати матрицею переходу від координат у базисі $ℬ$ до координат у базисі $𝒜$.

У такій інтерпретації можна також дати означення матриці переходу через матриці лінійного відображення. Стовпцями такої матриці $M(T;𝒜,ℬ)$ є координати $T({𝐚}_i)$ у базисі $ℬ$. Якщо вибрати тотожне лінійне перетворення то стовпцями матриці $M(I;ℬ,𝒜)$ будуть координати розкладів векторів із $ℬ$ у базисі $𝒜$. Тому

$B(𝒜,ℬ)=M(I;ℬ,𝒜)$.

Зміна порядку базисів у правій і лівій частині не є помилково.

Приклади

Два виміри

У двовимірному просторі, двійка векторів отриманих обертанням стандартного базису проти годинникової стрілки на 45° є базисом простору. Матриця чиї стовпчики є координатами цих векторів у початковому базисі має вид:

$M=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$

Якщо ми хочемо перевести будь-який вектор простору в цей базис, нам треба помножити зліва його компоненти на обернену до цієї матрицю, а щоб перевести вектор з координатами у новому базисі у координати стандартного потрібно нові координати помножити на саму матрицю.

Три виміри

Нехай R буде новим базисом заданим за допомогою кутів Ейлера. Матриця цього базису в якості стовпців матиме компоненти кожного з векторів у стандартному базисі. Отже, ця матриця виглядає так (Див. статтю Ейлерові кути):

$𝐑=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{c}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\gamma }-{\mathrm{s}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\beta }{\mathrm{s}}_{\gamma }& -{\mathrm{c}}_{\alpha }{\mathrm{s}}_{\gamma }-{\mathrm{s}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\beta }{\mathrm{c}}_{\gamma }& {\mathrm{s}}_{\beta }{\mathrm{s}}_{\alpha }\\ {\mathrm{s}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\gamma }+{\mathrm{c}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\beta }{\mathrm{s}}_{\gamma }& -{\mathrm{s}}_{\alpha }{\mathrm{s}}_{\gamma }+{\mathrm{c}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\beta }{\mathrm{c}}_{\gamma }& -{\mathrm{s}}_{\beta }{\mathrm{c}}_{\alpha }\\ {\mathrm{s}}_{\beta }{\mathrm{s}}_{\gamma }& {\mathrm{s}}_{\beta }{\mathrm{c}}_{\gamma }& {\mathrm{c}}_{\beta }\end{array}\right].$

Знов-таки, будь-який вектор простору можна перевести в цей новий базис домножуючи його зліва на обернену до цієї матриці.

Перетворення матриці лінійного відображення при зміні базису

Нехай задані векторні простори $V$ і $W$ над одним полем і для простору $V$ вибрані два базиси $𝒜=({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n)$ і ${𝒜}^{\prime }=(𝐚{\text{'}}_1,\dots ,𝐚{\text{'}}_n),$ а у просторі $W$ вибрані два базиси $ℬ=({𝐛}_1,\dots ,{𝐛}_m)$ і ${ℬ}^{\prime }=(𝐛{\text{'}}_1,\dots ,𝐛{\text{'}}_m).$ Нехай $B(𝒜,{𝒜}^{\prime })$ і $B(ℬ,{ℬ}^{\prime })$ є відповідними переходами між базисами у двох просторах.

Якщо тепер $T:V\to W$ є лінійним відображенням то у відповідних базисах воно задається матрицями $M(T;𝒜,ℬ)$ і $M(T;{𝒜}^{\prime },{ℬ}^{\prime })$. Якщо $𝐱\in V$ є довільним вектором, координати якого у базисах $𝒜$ і ${𝒜}^{\prime }$ можна записати за допомогою вектор стовпців $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ і $\left(\begin{array}{c}x{\text{'}}_1\\ ⋮\\ x{\text{'}}_n\end{array}\right)$, то $T(𝐱)$ є вектором простору $W$ координати якого у базисах $ℬ,{ℬ}^{\prime }$ можна записати за допомогою вектор стовпців $\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right)$ і $\left(\begin{array}{c}y{\text{'}}_1\\ ⋮\\ y{\text{'}}_m\end{array}\right)$.

У цих позначеннях у матричному записі враховуючи означення матриць переходу і лінійного відображення:

$\left(\begin{array}{c}y{\text{'}}_1\\ ⋮\\ y{\text{'}}_m\end{array}\right)=B({ℬ}^{\prime },ℬ)\cdot \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right)=B({ℬ}^{\prime },ℬ)\cdot M(T;𝒜,ℬ)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=B({ℬ}^{\prime },ℬ)\cdot M(T;𝒜,ℬ)\cdot B(𝒜,{𝒜}^{\prime })\cdot \left(\begin{array}{c}x{\text{'}}_1\\ ⋮\\ x{\text{'}}_n\end{array}\right).$

Оскільки вказані рівності справедливі для координатних стовпців усіх векторів $𝐱\in V$, то $B({ℬ}^{\prime },ℬ)\cdot M(T;𝒜,ℬ)\cdot B(𝒜,{𝒜}^{\prime })$ є однозначно визначеною матрицею відображення $T:V\to W$ у базисах ${𝒜}^{\prime }$ і ${ℬ}^{\prime }$:

$M(T;{𝒜}^{\prime },{ℬ}^{\prime })=B({ℬ}^{\prime },ℬ)\cdot M(T;𝒜,ℬ)\cdot B(𝒜,{𝒜}^{\prime })=(B(ℬ,{ℬ}^{\prime }{)}^{-1}\cdot M(T;𝒜,ℬ)\cdot B(𝒜,{𝒜}^{\prime }).$

Зокрема якщо $V=W$ і $T$ є лінійним перетворенням, то його матриці у базисах $𝒜$ і ${𝒜}^{\prime }$ пов'язані співвідношенням:

$M(T;{𝒜}^{\prime })=(B(𝒜,{𝒜}^{\prime }){)}^{-1}\cdot M(T;𝒜)\cdot B(𝒜,{𝒜}^{\prime })$.

У простіших позначеннях, якщо $A$ є матрицею перетворення у базисі $𝒜$, а $A^{\prime }$ є матрицею перетворення у базисі ${𝒜}^{\prime }$ і $U=B(𝒜,{𝒜}^{\prime })$, то:

$A^{\prime }=U^{-1}AU$.

Матриця білінійної форми

Білінійна форма на векторному просторі V над полем R це відображення Шаблон:Nowrap лінійне щодо обох аргументів. Тобто, Шаблон:Nowrap білінійна, якщо відображення

$𝐱\mapsto B(𝐱,𝐲)$

$𝐲\mapsto B(𝐲,𝐱)$

лінійні для будь-якого y з V. Це визначення також застосовне для модуля над комутативним кільцем і гомоморфізмом модуля в якості лінійного відображення.

Матриця Грама G, що відповідає базису $𝒜=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$ визначена так

$G_{i,j}=B({𝐚}_i,{𝐚}_j).$

Якщо $𝐱=\sum _i{x}_i{𝐚}_i$ і $𝐲=\sum _i{y}_i{𝐚}_i$ це представлення векторів x, y у цьому базисі, тоді білінійна форма задана так

$B(𝐱,𝐲)={𝐱}^{𝖳}G𝐲.$

Матриця буде симетрична якщо білінійна форма B це симетрична білінійна форма.

Зміна базису

Якщо задано два базиси $𝒜=⟨{𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n⟩$ і ${𝒜}^{\prime }=⟨𝐚{\text{'}}_1,𝐚{\text{'}}_2,\dots ,𝐚{\text{'}}_n⟩$, $G$ є матрицею Грама у першому базисі, а $G^{\prime }$ є матрицею грама у другому базисі, то ці матриці пов'язана співвідношенням із матрицею переходу $B(𝒜,{𝒜}^{\prime })$:

$G^{\prime }=B(𝒜,{𝒜}^{\prime }{)}^{𝖳}\cdot G\cdot B(𝒜,{𝒜}^{\prime }).$

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation