Простір Гарді

Простір Гарді — особливий вид функціональних просторів в комплексному аналізі, аналог $L^p$-простору з функціонального аналізу. Названий за іменем англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді.

Простори Гарді відіграють важливу роль у вивченні граничних властивостей функцій, гармонічному аналізі, теорії степеневих рядів, лінійних

операторів, випадкових процесів, екстремальних і апроксимаційних задачах.

Означення

Простір Гарді $H^p$ при $0<p<\mathrm{\infty }$ — це клас голоморфних функцій на відкритому одиничному колі на комплексної площині, що задовольняють наступній умові

$\underset{0<r<1}{\sup }{\left(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f(r{e}^{i\theta })|}^{p}d\theta \right)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$

Ліва частина цієї нерівності називається $p$-нормою в просторі Гарді або просто нормою Гарді для $f$, і позначається $|f{|}_{H^p}$. Як і у випадку $L^p$-просторів, ця норма узагальнюється на випадок $p=\mathrm{\infty }$ як

$|f{|}_{H^{\mathrm{\infty }}}=\underset{0<r<1}{\sup }\underset{z:|z|=r}{\sup }|f(z)|=\underset{z:|z|<1}{\sup }|f(z)|.$

Простори Гарді на верхній комплексній півплощині

Простір Гарді H^p(H) на верхній комплексній півплощині H за означенням є простором функцій f голоморфних на H з обмеженою квазінормою заданою як

$\Vert f{\Vert }_{H^p}=\underset{y>0}{\sup }{(\int |f(x+iy){|}^p\mathrm{d}x)}^{\frac{1}{p}}.$

Простір H^∞(H) є простором голоморфних функцій із обмеженою нормою:

$\Vert f{\Vert }_{H^{\mathrm{\infty }}}=\underset{z\in 𝐇}{\sup }|f(z)|.$

Хоча одиничний круг D і верхня комплексна півплощина H відображаються один на одного за допомогою перетворень Мебіуса вони не є рівнозначними як області для просторів Гарді. Зокрема це пояснюється тим, що одиничне коло має скінченну (одновимірну) міру Лебега, а дійсна пряма має нескінченну міру. Проте для H² справедливим є твердження: якщо m : D → H позначає перетворення Мебіуса

$m(z)=i\cdot \frac{1+z}{1-z}.$

то лінійний операторr M : H²(H) → H²(D) заданий як

$(Mf)(z):=\frac{\sqrt{\pi }}{1-z}f(m(z)).$

є ізометричним ізоморфізмом просторів Гільберта.

Простори Гарді на одиничному колі

Простори Гарді на одиничному крузі можна розглядати як замкнуті векторні підпростори комплексних $L^p$-просторів на одиничному колі.

Якщо f ∈ H^p, де p > 0, то радіальна границя

$\tilde{f}\left(e^{i\theta }\right)=\underset{r\to 1}{\lim }f\left(r{e}^{i\theta }\right)$

існує для майже всіх θ. Функція $\tilde{f}$ належить до L^p - простору на одиничному колі і також

$\Vert \tilde{f}{\Vert }_{L^p}=\Vert f{\Vert }_{H^p}.$

Також виконується рівність

$\underset{r\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f(r{e}^{i\theta })-\tilde{f}\left(e^{i\theta }\right)|}^{p}d\theta =0.$

Якщо функція $\tilde{f}\left(e^{i\theta }\right)$ є рівною нулю на підмножині додатної міри одиничного кола, то f є рівною нулю на всьому одиничному крузі.

Якщо позначити одиничне коло як T і H^p(T) — векторний підпростір простору L^p(T) елементами якого є граничні функції $\tilde{f}$, де f належить H^p, то для p ≥ 1,

$g\in H^p\left(𝐓\right)⟺g\in L^p\left(𝐓\right)\wedge \mathrm{\forall }n<0,\hat{g}(n)=0,$

де ĝ(n) є коефіцієнтами Фур'є функції g:

$\mathrm{\forall }n\in 𝐙,\hat{g}(n)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}g\left(e^{i\varphi }\right)e^{-in\varphi }\mathrm{d}\varphi .$

Простір H^p(T) є замкнутим підпростором простору L^p(T).

Навпаки для функції $\tilde{f}$ ∈ L^p(T), де p ≥ 1, можна одержати функцію f , що є гармонічною на одиничному крузі за допомогою інтегральної формули Пуассона P_r:

$f\left(r{e}^{i\theta }\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{P}_r(\theta -\varphi )\tilde{f}\left(e^{i\varphi }\right)\mathrm{d}\varphi ,r<1.$

Тоді f належить H^p тоді і тільки тоді, коли $\tilde{f}$ належить H^p(T). Якщо $\tilde{f}$ належить H^p(T), тобто $\tilde{f}$ має коефіцієнти Фур'є (a_n)_n∈Z і a_n = 0 для n < 0, тоді функція f простору Гарді H^p пов'язана з $\tilde{f}$ є голоморфною функцією із розкладом в ряд Тейлора:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n,|z|<1.$

Властивості

• Для Шаблон:Math, простір$H^p$ є простором Банаха.
• Для випадку $0<p<q\le \mathrm{\infty }$ $H^q$ є підмножиною множини $H^p$.

Доведення включення $H^q\subset H^p$ здійснюється з використанням нерівності Єнсена функції $x\to x^{\frac{q}{p}},$ яка є опуклою на проміжку (0, 1) згідно умови $\frac{q}{p}>1.$ Тоді

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r{e}^{i\theta }){|}^{p}d\theta ={[(2\pi {)}^{q/p}{(\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r{e}^{i\theta }){|}^p(d\theta /2\pi ))}^{q/p}]}^{p/q}⩽(2\pi {)}^{(q-p)/q}{(\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r{e}^{i\theta }){|}^{q}d\theta )}^{p/q}$

Якщо $f\in H^q,$ то супремум по r у правій стороні нерівності є скінченним і тому скінченним є супремум з лівої сторони, а отже $f\in H^p.$

Приклад нижче показує, що включення є строгим, тобто для $0<p<q\le \mathrm{\infty }$, як простори функцій $H^p\ne H^q.$

• Згідно теореми Гарді в означенні можна взяти границю при прямуванні r до 1:

$|f{|}_{H^p}=\underset{r\to 1^{-}}{\lim }{(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r{e}^{\mathrm{i}\theta }){|}^{p}d\theta )}^{\frac{1}{p}}.$

• Якщо функція $f\in H^p,0<p⩽\mathrm{\infty }$ і $a_1,a_2,\dots$ є нулями функції в одиничному крузі з врахуванням кратності, то $\sum _i(1-|a_i|)<\mathrm{\infty }.$ Навпаки, якщо не більш ніж зліченна множина комплексних чисел із одиничного круга задовольняє цю нерівність, то вона є множиною нулів деякої функції із простору Гарді.
• Якщо $f\in H^p$, то існують збіжний добуток Бляшке $B$ і голоморфна ніде не рівна нулю на одиничному крузі функція $F$ для яких $f=F\cdot B.$ До того ж $|f{|}_{H^p}=|F{|}_{H^p}.$ Добуток Бляшке записується через нулі функції f:

$B(z)=z^n\prod _k\frac{|a_k|}{a_k}\frac{z-a_k}{1-\overline{a_k}z},$ де n — кратність 0 як нуля функції f.

Функція $F$ розкладається у добуток зовнішньої функції

$F_0(z)=\exp (\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}\ln \chi (e^{i\theta })d\theta +i\alpha ),\alpha \in ℝ,$

і внутрішньої сингулярної функції:

$S(z)=\exp (\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}d\mu (\theta ))$

де $\chi (e^{i\theta })⩾0,\ln (\chi (e^{i\theta }))$ є функцією класу $L^1$ на одиничному колі, а $d\mu (\theta )$ є невід'ємною сингулярною мірою на одиничному колі.

Також три умови $f\in H^p,F_0\in H^p,\chi \in L^p(T)$ є рівносильними і $\tilde{f}\left(e^{i\theta }\right)={\tilde{F}}_0\left(e^{i\theta }\right)=\chi (e^{i\theta })$ майже всюди на одиничному колі.

• Функція $G(z)=B(z)\cdot S(z)$ є внутрішньою функцією і функції такого виду повністю характеризуються умовами $|G(z)|<1$ у відкритому одиничному колі і $\tilde{f}\left(e^{i\theta }\right)=1$ майже всюди на одиничному колі.

Приклади

• Якщо $0<p_1<p<p_2⩽\mathrm{\infty }$ то функція $f_p(z)=\frac{1}{(1-z{)}^{1/p}}$ визначена за допомогою основної гілки логарифма належить простору $H^{p_1}$ але не належить простору $H^{p_2}.$

Для цієї функції виконуються нерівності:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f_p(r{e}^{i\theta })|}^{p_1}d\theta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|1-r{e}^{i\theta }|}^{-p_1/p}d\theta ⩽\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|r-r{e}^{i\theta }|}^{-p_1/p}d\theta =r^{-p_1/p}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|1-e^{i\theta }|}^{-p_1/p}d\theta ⩽4r^{-p_1/p}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\left(\frac{1}{\sin \theta }\right)}^{p_1/p}d\theta .$

Оскільки для $0<\theta ⩽\pi /2$ виконується нерівність $\sin \theta ⩾\theta /2,$ то додатково ці інтеграли є меншими, ніж $4\cdot 2^{p_1/p}\cdot r^{-p_1/p}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\theta }^{-p_1/p}d\theta <\mathrm{\infty },$ а тому $f_p(z)\in H^{p_1}.$

З іншого боку виконуються нерівності

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|1-r{e}^{i\theta }|}^{-p_2/p}d\theta >& \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{|1-r{e}^{i\theta }|}^{-p_2/p}d\theta ⩾\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{|1-r\cos \theta +r\sin \theta |}^{-p_2/p}d\theta ⩾\\ ⩾& r\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{{(1-r\cos \theta +r\sin \theta )}^{-p_2/p}}{r\cos \theta +r\sin \theta }d\theta =r\cdot (1-p_2/p)((1+r{)}^{1-p_2/p}-(1-r{)}^{1-p_2/p}).\end{array}$

Оскільки $p_2/p>1$ то вираз справа у формулі прямує до нескінченності при прямуванні r до 1. Тому також $\underset{r\to 1^{-}}{\lim }{(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f_p(r{e}^{\mathrm{i}\theta }){|}^{p_2}d\theta )}^{\frac{1}{p_2}}=\mathrm{\infty }$ і тому $f_p(z)$ не належить простору $H^{p_2}.$

• Якщо голоморфна функція f є однолистою (ін'єктивною) на одиничному крузі, тоді $f\in H^p$ для всіх $0<p<\frac{1}{2}.$ Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга. то $\ln f\in H^p$ для всіх $p>0.$
• Якщо f є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то $f^{\prime }\in H^1$ тоді і тільки тоді, коли f є неперервною на замкнутому одиничному крузі і абсолютно неперервною на одиничному колі.
• Важливим окремим випадком є $p=2.$ Нехай $f\in H^2$ і її розклад у ряд Тейлора має вид $f(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)z^n,\hat{f}(n):=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$ Для функції можна ввести норму $\Vert f{\Vert }_2:={(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|\hat{f}(n){|}^2)}^{\frac{1}{2}}.$ Тоді $|f{|}_{H^p}=\Vert f{\Vert }_2$ і зокрема $f\in H^2$ тоді і тільки тоді коли її норма $\Vert f{\Vert }_2$ є скінченною.

Позначаючи $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ де $r\in [0,1[$ і $t\in [-\pi ,\pi ]$ і враховуючи $f(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)z^n$ маємо $f(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)r^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\theta }.$ Тобто $\hat{f}(n)r^n$ є коефіцієнтами Фур'є для $f(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })$ як функції дійсної змінної. Тоді згідно рівності Парсеваля: $\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f(r{e}^{i\theta })|}^{2}d\theta =\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|\hat{f}(n){|}^2{r}^{2n}.$ Із цієї рівності випливає твердження.

Звідси, випливає, що $H^2,$ як нормований векторний простір є ізометрично ізоморфним простору $l^2$ і зокрема є простором Гільберта.

Посилання

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation