Структурна теорема Коена

В комутативній алгебрі структурна теорема Коена описує будову повних нетерових локальних кілець. Теорему довів у 1946 році американський математик Ірвінг Коен.

Означення

Нехай R — комутативне локальне кільце Нетер, $𝔪$ — його максимальний ідеал, а $k=R/𝔪$ — відповідне поле лишків.

Кільце R називається еквіхарактеристичним, якщо $\mathrm{char}R=\mathrm{char}k,$ тобто кільце і поле лишків мають однакову характеристику. Кільце R є еквіхарактеристичним тоді і тільки тоді коли воно містить деяке підполе (у цьому випадку зі структурної теореми Коена випливає, що воно зокрема містить підполе ізоморфне полю лишків).

Кільце для якого ці характеристики не є однаковими має характеристику 0 або $p^n,n>1$, а його поле лишків — характеристику p, де p — просте число і до того ж $p\in 𝔪$ (у цьому випадку p є сумою одиничних елементів кільця). Якщо $p\in {𝔪}^2$ то кільце називається розщепленим, а якщо $p\in 𝔪\setminus {𝔪}^2$ — нерозщепленим.

Кільцем коефіцієнтів для кільця R із вказаними властивостями називається підкільце $S\subset R$ для якого виконуються умови:

• $𝔪\cap S=pS,$ де $p=\mathrm{char}k$
• S є повним локальним кільцем і $S/(pS)\cong k.$

У випадку еквіхарактеристичного кільця p = 0 у кільці R і відповідно S і $𝔪\cap S=\{0\},$ тобто S є полем.

У іншому випадку, якщо R має характеристику 0 то S є повною нетеровою областю цілісності, максимальний ідеал якої є головним породженим p. Повне локальне кільце характеристики 0 для якого поле лишків має характеристику p і максимальний ідеал породжується p називається кільцем Коена.

Якщо R має характеристику $p^n,n>1$ то S є локальним артиновим кільцем максимальний ідеал якого є породженим елементом p. Також $S=A/(p^n)$ для деякого кільця Коена.

Твердження теореми

• Для повного комутативного локального кільця Нетер R завжди існує кільце коефіцієнтів (яке буде полем ізоморфним полю лишків, якщо R є еквіхарактеристичним)
• Повне комутативне локальне кільце Нетер R є факторкільцем повного регулярного локального кільця.
• Еквіхарактеристичне регулярне локальне кільце R розмірності d є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів $k[[x_1,\dots ,x_n]].$
• Регулярне локальне кільце R розмірності d, що не є еквіхарактеристичним і є нерозщепленим є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів над кільцем Коена $S[[x_1,\dots ,x_n]],$ де S — кільце коефіцієнтів R.
• Регулярне локальне кільце R розмірності d, що не є еквіхарактеристичним і є розщепленим є ізоморфним факторкільцю кільця многочленів виду $A[[X]]/(f(X)),$ де A — еквіхарактеристичне і є нерозщеплене регулярне локальне кільце кільце коефіцієнтів якого є рівним кільцю коефіцієнтів R (тобто можна вважати $A=S[[x_1,\dots ,x_n]]$), а f(X) — многочлен Ейзенштейна, тобто $f(X)=X^r+c_1{X}^{r-1}+\dots +c_r$ і всі $c_i\in 𝔪$ і також $c_r\in ̸{𝔪}^2.$

Див. також

• Локальне кільце
• Поповнення (комутативна алгебра)
• Регулярне локальне кільце

Література

• * Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation