Критерій Ейзенштейна

Крите́рій Ейзенштейна — ознака незвідності многочлена в полі раціональних чисел. Названа на честь німецького математика Ґотхольда Ейзенштейна.

Формулювання

Нехай $a(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n$ — многочлен з цілочисельними коефіцієнтами і для деякого простого числа p виконуються умови:

• $p|a_n$,
• $p|a_i$ для будь-якого і від 0 до n-1,
• $p^2|a_0$.

Тоді многочлен $a(x)$ є незвідним у полі $\mathbb{Q}$ раціональних чисел.

Доведення

Припустимо що: $a(x)=f(x)g(x)$, де $f(x)=b_0+b_{1}x+...+b_k{x}^k$ та $g(x)=c_0+c_{1}x+...+c_m{x}^m$ многочлени ненульових степенів над $\mathbb{Q}$. З леми Гауса випливає, що їх можна розглядати як многочлени над $\mathbb{Z}$. Маємо:

$a_0=b_0{c}_0$

По умові $p|a_0$, тому або $p|b_0$ або $p|c_0$, але не те і інше разом оскільки $p^2|a_0$. Нехай $p|b_0$ і $p|c_0$. Всі коефіцієнти $f(x)$ не можуть ділитися на $p$, оскільки інакше б це було б вірно і для $a(x)$. Нехай $i$ — мінімальний індекс, для якого $b_i$ не ділиться на $p$. Маємо:

$a_i=b_i{c}_0+b_{i-1}{c}_1+...$

Оскільки $p|a_i$ і $p|b_j$ для всіх $j<i$ то $p|b_i{c}_0$, але це неможливо, оскільки по умові $p|c_0$ і $p|b_i$. Теорема доведена.

Приклади

• Многочлен $x^3+2$ є незвідним в $\mathbb{Q}$, з цього виходить неможливість вирішення задачі про подвоєння куба
• Многочлен $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...1$ є незвідним в $\mathbb{Q}$ . Справді, якщо він звідний, то звідним є і многочлен $f(x+1)=\frac{(x+1{)}^p-1}{(x+1)-1}=x^{p-1}+{C_p}^1{x}^{p-2}+...{C_p}^{p-1}$, а оскільки всі його коефіцієнти, окрім першого є біноміальними, тобто діляться на $p$ $p|{C_p}^k=\frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}$, а останній коефіцієнт ${C_p}^{p-1}=p$ до того ж не ділиться на $p^2,$ то згідно з критерієм Ейзенштейна він є незвідним всупереч припущенню.
• Многочлен $x^3+4$ над $\mathbb{Q}$ є прикладом, що показує, що критерій Ейзенштейна є тільки достатньою, але не необхідною умовою. Дійсно, єдиний простий дільник вільного члена це $p=2$, але 4 ділиться на $2^2$ — тому критерій Ейзенштейна тут не можна застосувати. З іншого боку, як многочлен 3 степеня без раціональних коренів, цей многочлен є незвідним.

Узагальнення

Нехай D — факторіальне кільце і $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ — многочлен над D.

Нехай P ⊆ D — простий ідеал, такий що:

• a_i ∈ P для i ≠ n,
• a_n ∉ P,
• a₀ ∉ P² (де P² добуток ідеалу).

Тоді f(x) є незвідним в F[x], де F — поле часток D.

Література

• Шаблон:Cite book

Посилання

• Критерій Ейзенштейна Шаблон:Webarchive на сайті PlanetMath.