Формула Аусландера — Бухсбаума

В комутативній алгебрі Формула Аусландера — Бухсбаума пов'язує поняття глибини і проективної розмірності скінченнопороджених модулів над локальними нетеровими кільцями. Формула доведена американськими математиками Морісом Аусландером і Девідом Бухсбаумом у 1957 році.

Твердження

Нехай R — комутативне локальне нетерове кільце і M — ненульовий скінченнопороджений R-модуль із скінченною проективною розмірністю. Тоді

${\mathrm{p}\mathrm{d}}_{R}M+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}M=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R.$

де pd позначає проективну розмірність модуля і depth — глибину кільця і модуля.

Доведення

Лема 1

Нехай R — локальне кільце і M — скінченнопороджений R-модуль. Якщо максимальний ідеал $𝔪\in \mathrm{Ass}(R)$ (еквівалентно всі елементи максимального ідеалу є дільниками нуля), то ${\mathrm{pd}}_{R}M=0$ або ${\mathrm{pd}}_{R}M=\mathrm{\infty }.$

Доведення

Припустимо ${\mathrm{pd}}_{R}M=n>0.$ Якщо $n<\mathrm{\infty }$ то можна знайти R-модуль M для якого ${\mathrm{pd}}_{R}M=1.$ Для цього потрібно побудувати частину проективної резольвенти

$E_{n-2}\to \cdots \to E_2\to E_1\to E_0\stackrel{\epsilon }{⟶}M\to 0$

після чого побудувати вільний модуль F породжений елементами модуля $E_{n-2}.$ Ядро природного відображення $F\to E_{n-2}$ буде мати проективну розмірність 1 згідно властивостей проективних розмірностей.

Тому можна вважати, що ${\mathrm{pd}}_{R}M=1.$ Нехай $x_1,...,x_t$ — мінімальна породжуюча множина для M. Тоді M є факторкільцем вільного модуля F з базисом $x_1,...,x_t$ і ядром K. Таким чином одержана коротка точна послідовність$:0\to K\to F\to M\to 0,$

Також $K\subset 𝔪F.$ Справді довільний елемент K можна записати як $\sum _{i=1}^t{a}_i{x}_i,$ де $a_i\in R.$ При відображенні в M ця сума є рівною 0. Якщо якийсь з елементів $a_i$ не належить $𝔪,$ то він є оборотним і у модулі M елемент $x_i$ є R-лінійною комбінацією інших породжуючих елементів, що суперечить мінімальності породжуючої множини. Тож $K\subset 𝔪F.$

Оскільки ${\mathrm{pd}}_{R}M=1,$ то K є проективним модулем, а як скінченнопороджений модуль над локальним кільцем то також і вільним R-модулем. Оскільки $𝔪\in \mathrm{Ass}(R),$ то $𝔪$ є анулятором деякого елемента $0\ne a\in R.$ Оскільки $K\subset 𝔪F,$ то $aK=0,$ а оскільки $0\ne a$ це суперечить тому, що K є вільним R-модулем.

Лема 2

Нехай R локальне кільце, $a\in R$ — необоротний елемент, що не є дільником нуля у R. Позначимо $R^{*}=R/(a).$ Нехай M — скінченнопороджений R-модуль скінченної проективної розмірності для якого a не є дільником нуля. Тоді ${\mathrm{pd}}_{R}M={\mathrm{pd}}_{R^{*}}M/aM.$

Доведення

Доведення індукцією по $n={\mathrm{pd}}_{R}M.$ Якщо n = 0, M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем), тобто є прямою сумою копій R. Тоді M/aM є прямою сумою копій $R^{*},$ тобто є вільним $R^{*}$-модулем.

Припустимо n > 0 і розглянемо точну послідовність $0\to K\to F\to M\to 0$ де F — вільний модуль. Оскільки a не є дільником нуля у M, звідси одержується точна послідовність $R^{*}$-модулів

$0\to K/aK\to F/aF\to M/aM\to 0.(*)$

Якщо M/aM є вільним $R^{*}$-модулем, то M є вільним R-модулем. Справді, нехай $y_1...,y_n$ є базою M/aM як $R^{*}$-модуля. Нехай $x_1,...x_n$ є прообразами цих елементів щодо відображення $M\to M/aM.$ Згідно леми Накаями, $x_1,...x_n$ є породжуючою множиною M.

Для доведення того, що $x_1,...x_n$ є лінійно незалежними над R, розглянемо лінійне рівняння $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i=0,{\lambda }_i\in R.$ Тоді також $\sum _{i=1}^n{\overline{\lambda }}_i{y}_i=0,$ у M/aM і тому ${\overline{\lambda }}_i=0(1⩽i⩽n).$ Тому можна записати ${\lambda }_i={\mu }_{i}a(1⩽i⩽n)$ і$\sum {\mu }_{i}a{x}_i=0$ і з того, що a не є дільником нуля у M, також $\sum {\mu }_{i}a{x}_i=0.$ За тими ж аргументами, що й вище, a ділить кожен ${\mu }_i$ тож якщо взяти ${\mu }_i={\nu }_{i}a,$ то $\sum {\nu }_i{x}_i=0.$ Таким чином для кожного i одержується послідовність ідеалів кільця R, $({\lambda }_i)\subset ({\mu }_i)\subset ({\nu }_i)\subset \dots .$ Оскільки R є нетеровим кільцем, ця послідовність зрештою стабілізується для кожного i.

Тому можна вважати, що $({\lambda }_i)=({\mu }_i)$ для кожного i. Тоді ${\mu }_i={\sigma }_i{\lambda }_i,{\sigma }_i\in R$ і оскільки ${\lambda }_i={\mu }_{i}a,$ то ${\mu }_i(1-{\sigma }_{i}a)=0.$ Оскільки $a\in 𝔪,$ то $(1-{\sigma }_{i}a)$ є оборотним елементом і всі ${\mu }_i=0$ і тому всі ${\lambda }_i=0,$ тобто $x_1,...x_n$ є лінійно незалежними над R.

Також ${\mathrm{pd}}_{R}K=n-1<\mathrm{\infty }$ і за припущенням індукції ${\mathrm{pd}}_{R^{*}}K/aK=n-1.$ Із цього і точної послідовності (*) випливає ${\mathrm{pd}}_{R^{*}}M/aM=n={\mathrm{pd}}_{R}M.$

Доведення формули Аусландера — Бухсбаума

Доведення теореми здійснюється індукцією по $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M).$ Припустимо $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}M=0.$ У цьому випадку результат доводиться індукцією по $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R.$ Якщо $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R=0$ то всі елементи максимального ідеалу $𝔪$ є дільниками нуля і тому $𝔪\in \mathrm{Ass}(R)$ і, згідно леми 1, ${\mathrm{pd}}_{R}M=0$ і формула є вірною.

Припустимо $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R>0.$ Також можна вважати ${\mathrm{pd}}_{R}M>0$, оскільки якщо ${\mathrm{pd}}_{R}M=0,$ то M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем) і тоді $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}M=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R$ і формула є вірною.

З того, що $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M)=0,$ випливає, що $𝔪\in \mathrm{Ass}(M)$ і тому існує елемент $y\in M,y\ne 0$ для якого $𝔪y=0.$ Візьмемо точну послідовність R-модулів

$0\to K\to F\stackrel{\varphi }{⟶}M\to 0,$

де F — вільний модуль і елемент $x\in F$ для якого $\varphi (x)=y.$ Тоді $x\in ̸K$ і $𝔪x\subset K.$ Оскільки $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R>0,$ можна вибрати $a\in 𝔪,$ що не є дільником нуля у R. Модуль F є вільним, тож a також не є дільником нуля у F і K. Якщо позначити $R^{*}==R/(a)$ і ${𝔪}^{*}=𝔪/(a),$ то ${𝔪}^{*}\in \mathrm{Ass}(K/aK)$ бо ${𝔪}^{*}$ є анулятором ненульового елемента $ax+aK\in K/aK.$ Звідси ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_{R^{*}}(K/aK)=0.$ Оскільки ${\mathrm{pd}}_{R}K={\mathrm{pd}}_{R}M-1<\mathrm{\infty },$ з леми 2, випливає, що ${\mathrm{pd}}_{R^{*}}(K/aK)={\mathrm{pd}}_{R}K<\mathrm{\infty }.$

З того, що $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}{R}^{*}=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R-1$ формула одержується індукцією по $R^{*}.$ Модуль K/aK є скінченнопородженим ненульовим модулем над $R^{*}$ нульової глибини, то ${\mathrm{pd}}_{R^{*}}(K/aK)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}{R}^{*}.$ Але ${\mathrm{pd}}_{R^{*}}(K/aK)={\mathrm{pd}}_{R}K={\mathrm{pd}}_{R}M-1.$ Тому ${\mathrm{pd}}_{R}M=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R,$ що завершує доведення у випадку $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}M=0.$

Припустимо тепер, що $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M)>0.$ Можна також вважати, що $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R>0$ оскільки в іншому випадку $𝔪\in \mathrm{Ass}(R)$ і згідно леми 1 ${\mathrm{pd}}_{R}M=0,$ тобто M є вільним модулем і $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}M=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R.$ Оскільки $𝔪$ не є асоційованим простим ідеалом ні для M ні для R то він не є підмножиною жодного з цих простих ідеалів і відповідно не є підмножиною їх об'єднання. Тому існує елемент $a\in 𝔪,$ який не є дільником нуля ні для R ні для M. Тоді ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_{R/(a)}M/aM=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}M-1$ і за індукцією ${\mathrm{pd}}_{R}M/aM+{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_{R/(a)}M/aM=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R/(a).$ Згідно леми 2, ${\mathrm{pd}}_{R/(a)}M/aM={\mathrm{pd}}_{R}M$ і тому ${\mathrm{pd}}_{R}M+{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_{R}M=1+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R/(a)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}R.$

Застосування

З формули Аусландера — Бухсбаума випливає що локальне Нетерове кільце є регулярним якщо і тільки якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Звідси випливає, що локалізація регулярного локального кільця теж є регулярним локальним кільцем.

Якщо A є локальною скінченнопородженою R-алгеброю над регулярним локальним кільцем R, тоді з формули Аусландера — Бухсбаума випливає що A є кільцем Коена — Маколея якщо і тільки якщо, pd_RA = codim_RA.

Див. також

• Глибина (теорія кілець)
• Глобальна розмірність

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9