Дзета-функція Гурвіца

У математиці дзета-функція Гурвіца, названа на честь Адольфа Гурвіца — одна з дзета-функцій, які є узагальненнями дзета-функції Рімана. Формально вона може бути задана степеневим рядом для комплексних аргументів s, при Re(s) > 1, і q, Re(q) > 0:

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(q+n{)}^s}.$

Цей ряд є абсолютно збіжним для заданих значень s і q. Дзета-функція Рімана — окремий випадок дзета-функції Гурвіца при q = 1.

Аналітичне продовження

Дзета функція Гурвіца допускає аналітичне продовження до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних s, при s ≠ 1. У точці s = 1 вона має простий полюс із лишком, рівним 1. Постійний член розкладу в ряд Лорана в околі точки s = 1 дорівнює:

$\underset{s\to 1}{\lim }[\zeta (s,q)-\frac{1}{s-1}]=\frac{-{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(q)}{\mathrm{\Gamma }(q)}=-\psi (q)$,

де Γ(x) — гамма-функція, і ψ(x) — дигамма-функція.

Подання у вигляді рядів

Подання у вигляді збіжного степеневого ряду для q > −1 і довільного комплексного s ≠ 1 отримав у 1930 році Гельмут Гассе

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}.$

Цей ряд є рівномірно збіжним на будь-якій компактній підмножині комплексної s-площини до цілої функції. Внутрішня сума може бути подана у вигляді n-ї скінченної різниці для $q^{1-s}$, тобто:

${\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{nk}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}$

де Δ — оператор скінченної різниці. Таким чином

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}$

$=\frac{1}{s-1}\frac{\log (1+\mathrm{\Delta })}{\mathrm{\Delta }}{q}^{1-s}.$

Інтегральні подання

Дзета-функція Гурвіца має інтегральне подання у вигляді перетворення Мелліна:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-qt}}{1-e^{-t}}dt$

для Re(s) > 1 і Re(q) > 0.

Формула Гурвіца

$\zeta (1-s,x)=\frac{1}{2s}[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)]$,

де

$\beta (x;s)=2\mathrm{\Gamma }(s+1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi inx)}{(2\pi n{)}^s}=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s+1)}{(2\pi {)}^s}{\text{Li}}_s(e^{2\pi ix})$.

Це подання дзета-функції Гурвіца є правильним для 0 ≤ x ≤ 1 и s >1. Тут ${\text{Li}}_s(z)$ — позначає полілогарифм.

Функціональне рівняння

Дане функціональне рівняння пов'язує значення дзета-функції Гурвіца ліворуч і праворуч від прямої Re(s) = 1/2 в комплексній s-площині. Для натуральних m і n, таких що m ≤ n рівність

$\zeta (1-s,\frac{m}{n})=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s)}{(2\pi n{)}^s}\sum _{k=1}^n[\cos (\frac{\pi s}{2}-\frac{2\pi km}{n})\mathrm{Z}(s,\frac{k}{n})]$

виконується для всіх значень s.

Ряд Тейлора

Похідна дзета-функції Гурвіца за другим аргументом також виражається через дзета-функцію Гурвіца:

$\frac{\partial }{\partial q}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$

Таким чином ряд Тейлора має вигляд:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}\frac{{\partial }^k}{\partial x^k}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-1}{s-1})(-y{)}^k\zeta (s+k,x).$

Ряд Лорана

Розклад дзета-функції Гурвіца в ряд Лорана можна використати для визначення Шаблон:Не перекладено, які з'являються в розкладі:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\mathrm{\Gamma }}_n(q)(S-1{)}^n.$

Перетворення Фур'є

Дискретне перетворення Фур'є за змінною s дзета-функції Гурвіца є хі-функцією Лежандра

Зв'язок з многочленами Бернуллі

Введена вище функція $\beta (x;n)$ узагальнює многочлени Бернуллі:

$B_n(x)=-Re[(-i{)}^n\beta (x;n)]$.

З іншого боку,

$\zeta (-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.$

Зокрема, при $n=0$:

$\zeta (0,x)=\frac{1}{2}-x.$

Зв'язок з тета-функцією Якобі

Якщо $\vartheta (z,\tau )$ — тета-функція Якобі, тоді

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (z,it)-1]t^{s/2}\frac{dt}{t}={\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)]$.

Ця формула є вірною для Re(s) > 0 і будь-якого комплексного z, яке не є цілим числом. Для цілого z = n формула спрощується:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (n,it)-1]t^{s/2}\frac{dt}{t}=2{\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s)=2{\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$.

де ζ(s) — дзета-функція Рімана. Останній вираз є функціональним рівнянням для дзета-функції Рімана.

Зв'язок з L-функцією Діріхле

При раціональних значеннях аргументу дзета-функція Гурвіца може бути подана у вигляді лінійної комбінації L-функцій Діріхле і навпаки. Якщо q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 і 0 < n < k, тоді

$\zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }\bar{\chi }(n)L(s,\chi ),$

при цьому сумування здійснюється за всіма характерами Діріхле за модулем k. І навпаки

$L(s,\chi )=\frac{1}{k^s}\sum _{n=1}^k\chi (n)\mathrm{Z}(s,\frac{n}{k}).$

Зокрема існує таке подання:

$k^s\zeta (s)=\sum _{n=1}^k\zeta (s,\frac{n}{k}),$

що узагальнює

$\sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^s\zeta (s,qa).$ (Яке є правильним при натуральному q і ненатуральному 1 − qa.)

Раціональні значення аргументів

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних співвідношеннях для раціональних значень аргументів. Зокрема, для многочленів Ейлера$E_n(x)$:

$E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^n\frac{4(2n-1)!}{(2\pi q{)}^{2n}}\sum _{k=1}^q\zeta (2n,\frac{2k-1}{2q})\cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}$

і

$E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^n\frac{4(2n)!}{(2\pi q{)}^{2n+1}}\sum _{k=1}^q\zeta (2n+1,\frac{2k-1}{2q})\sin \frac{(2k-1)\pi p}{q}$,

Крім того рівність

$\zeta (s,\frac{2p-1}{2q})=2(2q{)}^{s-1}\sum _{k=1}^q[C_s\left(\frac{k}{q}\right)\cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right)+S_s\left(\frac{k}{q}\right)\sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right)]$,

виконується для $1\le p\le q$. Тут$C_{\nu }(x)$ і $S_{\nu }(x)$ виражаються через хі-функціію Лежандра ${\chi }_{\nu }$ як

$C_{\nu }(x)=\mathrm{Re}{\chi }_{\nu }(e^{ix})$

і

$S_{\nu }(x)=\mathrm{Im}{\chi }_{\nu }(e^{ix}).$

Застосування

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних розділах математики, зокрема в теорії чисел, де її теорія є найбільш розвиненою. Також дзета-функція Гурвіца зустрічається в теорії фракталів і динамічних систем. Дзета-функція Гурвіца застосовується в математичній статистиці, в законі Ципфа. У фізиці елементарних частинок використовується у формулі Швінгера, що дає точний результат для показника народження пар в рівнянні Дірака для стаціонарного електромагнітного поля.

Окремі випадки і узагальнення

Дзета-функція Гурвіца пов'язана з полігамма-функцією:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\mathrm{Z}(m+1,z).$

Дзета-функція Лерхе узагальнює дзета-функцію Гурвіца:

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s}$

тобто

$\zeta (s,q)=\mathrm{\Phi }(1,s,q).$

Див. також

• Дзета-функції

Посилання

• Шаблон:Mathworld

Література

• Шаблон:Ouvrage
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. Шаблон:ISBN.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite journal