J-інваріант

Шаблон:Mvar-інваріант

j-інваріант Кляйна або j-функція Кляйна — функція комплексної змінної τ, що є модулярною функцією для групи Шаблон:Math визначеною на верхній комплексній півплощині. Вона є єдиною такою голоморфною на півплощині функцією, що має простий полюс в каспі на безмежності й значення

$j\left(e^{\frac{2}{3}\pi i}\right)=0,j(i)=1728.$

Раціональні функції від Шаблон:Mvar теж є модулярними функціями й всі модулярні функції можуть бути записані в такий спосіб. Історично Шаблон:Mvar-інваріант вивчався як параметризація еліптичних кривих над полем Шаблон:Math, але також він має несподіваний зв'язок з симетріями групи Монстр.

Означення

Мотивацією для означення Шаблон:Mvar-інваріанта є вивчення класів ізоморфності еліптичних кривих. Кожна еліптична крива Шаблон:Mvar над полем Шаблон:Math є комплексним тором і тому її можна ідентифікувати з ґраткою порядку 2, тобто двовимірною ґраткою в Шаблон:Math. Як виявляється множення ґратки на комплексне число, що відповідає повороту і розтягуванню ґратки, не змінює клас ізоморфності еліптичних кривих і тому можна розглядати лише ґратки породжені Шаблон:Math і деяким Шаблон:Mvar в Шаблон:Math (де Шаблон:Math — верхня комплексна півплощина). Навпаки, якщо визначити

$\begin{array}{cc}{g}_2& =60\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m+n\tau {)}^{-4},\\ g_3& =140\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m+n\tau {)}^{-6},\end{array}$

то ця ґратка визначає еліптичну криву над Шаблон:Math задану рівнянням Шаблон:Math.

Шаблон:Mvar-інваріант за означенням рівний

$j(\tau )=1728\frac{g_2^3}{\mathrm{\Delta }}$

де модулярний дискримінант Шаблон:Math рівний

$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2$

Шаблон:Math є модулярною формою ваги, Шаблон:Math — модулярною формою ваги 4, тож її 3-й степінь теж є модулярною формою ваги 12. Тому їх частка, а відповідно і функція Шаблон:Mvar, є модулярною функцією інваріантною щодо дії групи Шаблон:Math. Шаблон:Mvar є бієкцією між класами ізоморфності еліптичних кривих над Шаблон:Math і комплексними числами.

Фундаментальний регіон

Фундаментальний регіон модулярної групи на верхній півплощині.

Перетворення Шаблон:Math і Шаблон:Math разом породжують групу, що називається модулярною групою. Вибравши необхідне перетворення з цієї групи,

$\tau \mapsto \frac{a\tau +b}{c\tau +d},ad-bc=1,$

для будь-якого Шаблон:Mvar можна знайти значення змінної з тим самим значенням функції Шаблон:Mvar, що лежить в фундаментальному регіоні для Шаблон:Mvar, тобто підмножини комплексних чисел, що задовольняють умови:

$\begin{array}{cc}|\tau |& \ge 1\\ -\frac{1}{2}& <\Re (\tau )\le \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& <\Re (\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{array}$

Функція Шаблон:Math на цьому регіоні приймає кожне значення з Шаблон:Math точно один раз. Тобто для кожного Шаблон:Mvar в Шаблон:Math, є єдине число τ в фундаментальному регіоні для якого Шаблон:Math.

Як поверхня Рімана, фундаментальний регіон має рід 0, і всі множина модулярних функцій рівна множині раціональних функцій від Шаблон:Math тобто Шаблон:Math.

Ряди Фур'є

Багато важливих властивостей Шаблон:Mvar пов'язані з Шаблон:Mvar-розкладом (рядом Фур'є), тобто розкладом в ряд Лорана щодо змінної Шаблон:Math, що починається як:

$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4+\cdots$

Зокрема звідси видно, що оскільки Шаблон:Mvar має простий полюс в каспі, то Шаблон:Mvar-розклад не має членів степенів нижчих, ніж Шаблон:Math.

Асимптотично коефіцієнти біля Шаблон:Math рівні

$\frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}{n}^{3/4}}$,

що випливає з використання методу Харді — Літлвуда.

Альтернативні означення

Справедливою є формула

$j(\tau )=\frac{256(1-x{)}^3}{x^2}$

де Шаблон:Math і Шаблон:Mvar є модулярною ламбда-функцією

$\lambda (\tau )=\frac{{\theta }_2^4(0,\tau )}{{\theta }_3^4(0,\tau )}=k^2(\tau )$

часткою тета-функцій Якобі ${\theta }_m$, і квадратом еліптичного модуля $k(\tau )$. Значення Шаблон:Mvar не змінюється коли λ замінити на якісь значення з множини:

$\left\{\lambda ,\frac{1}{1-\lambda },\frac{\lambda -1}{\lambda },\frac{1}{\lambda },\frac{\lambda }{\lambda -1},1-\lambda \right\}$

Означення за допомогою ета-функцій

Нехай $q=e^{\pi i\tau }$ і тета-функція Якобі визначена як

$\vartheta (0;\tau )={\vartheta }_{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(e^{\pi i\tau }\right)}^{n^2}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}$

і подібно інші тета-функції Якобі. Нехай:

$\begin{array}{cc}a& ={\theta }_2(0;q)={\vartheta }_{10}(0;\tau )\\ b& ={\theta }_3(0;q)={\vartheta }_{00}(0;\tau )\\ c& ={\theta }_4(0;q)={\vartheta }_{01}(0;\tau )\end{array}$

Тоді $a^4-b^4+c^4=0$ і можна записати

$\begin{array}{cc}{g}_2(\tau )& =\frac{2}{3}{\pi }^4(a^8+b^8+c^8)\\ g_3(\tau )& =\frac{4}{27}{\pi }^6\sqrt{\frac{(a^8+b^8+c^8{)}^3-54(abc{)}^8}{2}}\\ \mathrm{\Delta }& =g_2^3-27g_3^2=(2\pi {)}^{12}{\left(\frac{1}{2}abc\right)}^8=(2\pi {)}^{12}\eta (\tau {)}^{24}\end{array}$

де η(τ) — ета функція Дедекінда. Тоді j(τ) можна записати у формі зручній для обчислень через швидку збіжність:

$j(\tau )=1728\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}=32\frac{(a^8+b^8+c^8{)}^3}{(abc{)}^8}$

Алгебраїчне означення

Вище Шаблон:Mvar означалася як функція комплексної змінної. Проте як інваріант класів ізоморфності еліптичних кривих, її можна визначити алгебраїчно. Нехай

$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$

є еліптичною кривою над довільним полем. Позначимо

$b_2=a_1^2+4a_2,b_4=a_1{a}_3+2a_4$

$b_6=a_3^2+4a_6,b_8=a_1^2{a}_6-a_1{a}_3{a}_4+a_2{a}_3^2+4a_2{a}_6-a_4^2$

$c_4=b_2^2-24b_4,c_6=-b_2^3+36b_2{b}_4-216b_6$

і

$\mathrm{\Delta }=-b_2^2{b}_8+9b_2{b}_4{b}_6-8b_4^3-27b_6^2$ позначення для дискримінпіпіанта

$j=\frac{c_4^3}{\mathrm{\Delta }}$

Якщо поле над яким визначена крива має характеристику не рівну 2 чи 3,означення можна переписати як

$j=1728\frac{c_4^3}{c_4^3-c_6^2}$

Окремі значення

Нижче наведені значення в окремих точках функції $J(\tau )\equiv j(\tau )/1728$

$\begin{array}{cc}J(i)& =J\left(\frac{1+i}{2}\right)=1\\ J\left(\sqrt{2}i\right)& ={\left(\frac{5}{3}\right)}^3\\ J(2i)& ={\left(\frac{11}{2}\right)}^3\\ J\left(2\sqrt{2}i\right)& =\frac{125}{216}{(19+13\sqrt{2})}^3\\ J(4i)& =\frac{1}{64}{(724+513\sqrt{2})}^3\\ J\left(\frac{1+2i}{2}\right)& =\frac{1}{64}{(724-513\sqrt{2})}^3\\ J\left(\frac{1+2\sqrt{2}i}{3}\right)& =\frac{125}{216}{(19-13\sqrt{2})}^3\\ J(3i)& =\frac{1}{27}{(2+\sqrt{3})}^2{(21+20\sqrt{3})}^3\\ J\left(2\sqrt{3}i\right)& =\frac{125}{16}{(30+17\sqrt{3})}^3\\ J\left(\frac{1+7\sqrt{3}i}{2}\right)& =-\frac{64000}{7}{(651+142\sqrt{21})}^3\\ J\left(\frac{1+3\sqrt{11}i}{10}\right)& =\frac{64}{27}{(23-4\sqrt{33})}^2{(-77+15\sqrt{33})}^3\\ J\left(\sqrt{21}i\right)& =\frac{1}{32}{(5+3\sqrt{3})}^2{(3+\sqrt{7})}^2{(65+34\sqrt{3}+26\sqrt{7}+15\sqrt{21})}^3\\ J\left(\frac{\sqrt{30}i}{1}\right)& =\frac{1}{16}{(10+7\sqrt{2}+4\sqrt{5}+3\sqrt{10})}^4{(55+30\sqrt{2}+12\sqrt{5}+10\sqrt{10})}^3\\ J\left(\frac{\sqrt{30}i}{2}\right)& =\frac{1}{16}{(10+7\sqrt{2}-4\sqrt{5}-3\sqrt{10})}^4{(55+30\sqrt{2}-12\sqrt{5}-10\sqrt{10})}^3\\ J\left(\frac{\sqrt{30}i}{5}\right)& =\frac{1}{16}{(10-7\sqrt{2}+4\sqrt{5}-3\sqrt{10})}^4{(55-30\sqrt{2}+12\sqrt{5}-10\sqrt{10})}^3\\ J\left(\frac{\sqrt{30}i}{10}\right)& =\frac{1}{16}{(10-7\sqrt{2}-4\sqrt{5}+3\sqrt{10})}^4{(55-30\sqrt{2}-12\sqrt{5}+10\sqrt{10})}^3\\ J\left(\frac{1+\sqrt{31}i}{2}\right)& ={(1-{(1+\frac{\sqrt{19}}{2}(\sqrt{\frac{13-\sqrt{93}}{13+\sqrt{93}}}\cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{31}+\sqrt{27}}{\sqrt{31}-\sqrt{27}}}+\sqrt{\frac{13+\sqrt{93}}{13-\sqrt{93}}}\cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{\sqrt{31}+\sqrt{27}}}))}^2)}^3\\ J(\sqrt{70}i)& ={(1+\frac{9}{4}{(303+220\sqrt{2}+139\sqrt{5}+96\sqrt{10})}^2)}^3\\ J(7i)& ={(1+\frac{9}{4}\sqrt{21+8\sqrt{7}}{(30+11\sqrt{7}+(6+\sqrt{7})\sqrt{21+8\sqrt{7}})}^2)}^3\\ J(8i)& ={(1+\frac{9}{4}\sqrt[4]{2}(1+\sqrt{2}){(123+104\sqrt[4]{2}+88\sqrt{2}+73\sqrt[4]{8})}^2)}^3\\ J(10i)& ={(1+\frac{9}{8}{(2402+1607\sqrt[4]{5}+1074\sqrt[4]{25}+719\sqrt[4]{125})}^2)}^3\\ J\left(\frac{5i}{2}\right)& ={(1+\frac{9}{8}{(2402-1607\sqrt[4]{5}+1074\sqrt[4]{25}-719\sqrt[4]{125})}^2)}^3\\ J(2\sqrt{58}i)& ={(1+\frac{9}{256}{(1+\sqrt{2})}^5{(5+\sqrt{29})}^5{(793+907\sqrt{2}+237\sqrt{29}+103\sqrt{58})}^2)}^3\\ J\left(\frac{1+\sqrt{1435}i}{2}\right)& ={(1-9{(9892538+4424079\sqrt{5}+1544955\sqrt{41}+690925\sqrt{205})}^2)}^3\\ J\left(\frac{1+\sqrt{1555}i}{2}\right)& ={(1-9{(22297077+9971556\sqrt{5}+(3571365+1597163\sqrt{5})\sqrt{\frac{31+21\sqrt{5}}{2}})}^2)}^3\\ \end{array}$

Кілька спеціальних значень були розраховані у 2014 році:

$\begin{array}{cc}J\left(\frac{5i+1}{2}\right)& ={\left(\frac{2927-1323\sqrt{5}}{2}\right)}^3,\\ J(5i)& ={\left(\frac{2927+1323\sqrt{5}}{2}\right)}^3,\\ \end{array}$

для значень нижче використані позначення,

$\begin{array}{cc}{a}_1,a_2,a_3,a_4& =1190448488,858585699,540309076,374537880\\ b_1,b_2,b_3,b_4& =693172512,595746414,407357424,240819696\end{array}$

$\begin{array}{cc}J\left(\frac{5i+2}{4}\right)& ={\left(\frac{{(1+\sqrt{5})}^{37}}{2^{39}}(a_1-a_2\sqrt{2}+a_3\sqrt{5}-a_4\sqrt{10}-\sqrt[4]{5}(b_1-b_2\sqrt{2}+b_3\sqrt{5}-b_4\sqrt{10}))\right)}^3,\\ J\left(\frac{10i+1}{2}\right)& ={\left(\frac{{(1+\sqrt{5})}^{37}}{2^{39}}(a_1-a_2\sqrt{2}+a_3\sqrt{5}-a_4\sqrt{10}+\sqrt[4]{5}(b_1-b_2\sqrt{2}+b_3\sqrt{5}-b_4\sqrt{10}))\right)}^3,\\ J\left(\frac{5i}{4}\right)& ={\left(\frac{{(1+\sqrt{5})}^{37}}{2^{39}}(a_1+a_2\sqrt{2}+a_3\sqrt{5}+a_4\sqrt{10}-\sqrt[4]{5}(b_1+b_2\sqrt{2}+b_3\sqrt{5}+b_4\sqrt{10}))\right)}^3,\\ J(20i)& ={\left(\frac{{(1+\sqrt{5})}^{37}}{2^{39}}(a_1+a_2\sqrt{2}+a_3\sqrt{5}+a_4\sqrt{10}+\sqrt[4]{5}(b_1+b_2\sqrt{2}+b_3\sqrt{5}+b_4\sqrt{10}))\right)}^3.\end{array}$

$J(\frac{1}{4}(5i\pm 1))={(1-\frac{9}{8}{((2402-1074\sqrt{5})i\pm (1607-719\sqrt{5})\sqrt[4]{5})}^2)}^3.$

Ще чотири спеціальні значення наведені у вигляді двох комплексно-сполучених пар:

$\begin{array}{c}J\left(\frac{4}{13}(5i\pm 1)\right)={\left(\frac{{(1-\sqrt{5})}^{37}}{2^{39}}(a_1-a_2\sqrt{2}-a_3\sqrt{5}+a_4\sqrt{10}\pm i\sqrt[4]{5}(b_1-b_2\sqrt{2}-b_3\sqrt{5}+b_4\sqrt{10}))\right)}^3,\\ J\left(\frac{5}{17}(4i\pm 1)\right)={\left(\frac{{(1-\sqrt{5})}^{37}}{2^{39}}(a_1+a_2\sqrt{2}-a_3\sqrt{5}-a_4\sqrt{10}\pm i\sqrt[4]{5}(b_1+b_2\sqrt{2}-b_3\sqrt{5}-b_4\sqrt{10}))\right)}^3\end{array}$

Див. також

• Еліптична крива
• Еліптична функція
• Квантовий інваріант
• Модулярна форма
• Monstrous moonshine

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.