Простір Соболєва

Простір Соболєва — функціональний простір, що складається з функцій із простору Лебега ($L_p(Q)$), які мають слабкі похідні заданого порядку з $L_p(Q)$. При $1⩽p⩽\mathrm{\infty }$ простори Соболєва є банаховими просторами, а при $p=2$ — гільбертовими просторами. Для гільбертових просторів Соболєва також прийнято позначення $H^k(Q)$.

Для області $Q\subset R^n$ норма у просторі Соболєва $W_p^k(Q)$ порядку $k⩾1$ та підсумованих зі степенем $1⩽p<\mathrm{\infty }$ вводиться за такою формою:

$\Vert u{\Vert }_{W_p^k(Q)}={(\sum _{\alpha ⩽k}\underset{Q}{\int }|D^{\alpha }u{|}^{p}dx)}^{1/p},$

а при $p=\mathrm{\infty }$ норма виглядає так:

$\Vert u{\Vert }_{W_{\mathrm{\infty }}^k(Q)}=\sum _{\alpha ⩽k}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup |D^{\alpha }u|,$

де $\alpha$ — це мультиіндекс, а операція $D^{\alpha }$ є слабка похідна по мультиіндексу.

Простори Соболєва були введені радянським математиком Сергієм Львовичем Соболєвим та потім названі у його честь.

Вступ та історія питання

Ідея про узагальнення розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними починає проникати в математичну фізику в 20-х роках XX ст. З одного боку, необхідність в розширенні класів функцій виникає в багатовимірних варіаційних задачах, а з іншого, — при дослідженні хвильового рівняння і рівнянь гідродинаміки. В цих задачах класи неперервних функцій були недостатніми.

В роботі Шаблон:Не перекладено Шаблон:Не перекладено при дослідженні мінімуму квадратичного функціоналу були введені класи функцій, які збігаються з просторами Соболєва $H_0^1(Q)$ — просторами Соболєва першого порядку, які мають нульовий слід на границі області. Проте в цих роботах (так званих прямих варіаційних задачах) ще не було розуміння того, що простори Соболєва другого порядку є класом коректності для еліптичних крайових задач, відповідним варіаційним задачам. В 1936 році в основоположній роботі Соболєва вводяться узагальнені розв'язки основних видів лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку (хвильове рівняння, рівняння Лапласа і рівняння теплопровідності) з класів функцій, які потім були названі просторами Соболєва. В цих роботах узагальнені розв'язки розуміються як ліміти класичних рівнянь, до того ж ліміти розглядаються в класах інтегровних функцій. Таке розширення понять дає змогу досліджувати задачі з доволі загальними правими частинами і коефіцієнтами рівнянь.

У 1930-х роках починається всестороннє дослідження просторів Соболєва. Найбільш важливими були роботи Шаблон:Не перекладено про компактність вкладання (теорема Реліха — Гордінга) і теореми про вкладання (теореми Соболєва і Соболєва — Кондрашова). Ці теореми дали змогу побудувати узагальнені розв'язки для багатьох задач математичної фізики, а також встановити зв'язок з класами неперервних функцій.

У 1940-х роках Ладиженською було запропоновано визначати узагальнені розв'язки за допомогою інтегральних тотожностей для функцій з просторів Соболєва. Використання інтегральних тотожностей виявилося дуже зручним для дослідження гладкості розв'язків рівнянь з частинними похідними. У наш час визначення узагальнених рішень через інтегральні тотожності є стандартним методом постанови задач.

Простори Соболєва мають принципове значення не лише у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, але ще і в варіаційних задачах, теорії функцій, теорії наближень, методах обчислення, теорії керування та багатьох інших розділах аналізу і його додатків.

Властивості просторів Соболєва

• Для будь-якої області $Q^{\prime }\subset Q$ з $f\in W_p^k(Q)$ випливає, що $f\in W_p^k(Q^{\prime })$.
• Якщо $f\in W_p^k(Q)$ і $a\in C^k(\bar{Q})$, то $af\in W_p^k(Q)$.
• Якщо $f\in W_p^k(Q)$ фінітна в $Q$, то продовження цієї функції нулем належить $W_p^k(Q^{\prime })$ для будь-якої $Q\subset Q^{\prime }$.
• Нехай $y=y(x)$ є гладке і взаємно однозначне відображення області $Q$ на область $\mathrm{\Omega }$ і $F\in W_p^k(\mathrm{\Omega })$, тоді функція $f(x)=F(y(x))$ належить простору $W_p^k(Q)$.
• Простори Соболєва $W_p^k(Q)$ є сепарабельними просторами.
• Якщо межа області $Q$ задовольняє умові Ліпшица, то множина $C^{\mathrm{\infty }}(\bar{Q})$ щільна в $W_p^k(Q)$.
• Нехай $u,v\in W_p^k(Q)$, де $Q$ — обмежена область в $R^n$, зіркова відносно деякого шару. Якщо $kp>n$, то їх поточковий добуток $uv$, визначений майже усюди в $Q$, належить простору $W_p^k(Q)$, більш того, існує додатна константа $C$, яка залежить лише від $k,n,p$ така, що

$\Vert uv{\Vert }_{W_p^k}\le C\Vert u{\Vert }_{W_p^k}\Vert v{\Vert }_{W_p^k}$, іншими словами, $W_p^k(Q)$ є комутативною банаховую алгеброю, добуток в котрій узгоджений з нормою $\Vert u{\Vert }_{W_p^k(Q{)}^{*}}=C\Vert u{\Vert }_{W_p^k(Q)}$.

• Простори $W_p^k(Q)$ при $1<p<\mathrm{\infty }$ є рефлексивними просторами.
• Простори $W_2^k(Q)=H^k(Q)$ є гільбертовими просторами.

Простори Соболєва $H_0^k(Q)$

В крайових задачах для диференціальних рівнянь в часткових похідних важливу роль грають простори функцій із простора Соболєва, які мають нульові граничні умови. Ці простори позначаються через $H_0^k(Q)$ і вводяться як замикання множини $C_0^{\mathrm{\infty }}(Q)$ по нормі простору $H^k(Q)$, де $C_0^{\mathrm{\infty }}(Q)$ є множина фінітних в $Q$ нескінченно диференційованих функцій.

Простори $H_0^k(Q)$ є замкнутими підпросторами в $H^k(Q)$. За наявністю визначеної гладкості границі області $Q$ цей простір збігається з множиною функцій із $H^k(Q)$, які мають нульовий слід на межі області $Q$ и нульовий слід усіх узагальнених похідних аж до $k-1$-го порядку.

Простори Соболєва в усьому просторі

Простори Соболєва $H^s(R^n)$ можна визначити за допомогою перетворення Фур'є. Для будь-якої функції $f(x)\in L_2(R^n)$ визначено перетворення Фур'є $\hat{f}(\omega )=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-ix\cdot \omega }dx$, при цьому, $\hat{f}(\omega )\in L_2(R^n)$. Простір Соболєва $H^s(R^n)$ визначається таким чином:

$H^s(R^n)=\{f\in L_2(R^n):(1+|\omega {|}^2{)}^{s/2}\hat{f}(\omega )\in L_2(R^n)\}$.

Простори Соболєва на торі

Нехай $T^n$ — $n$-мірний тор. Простір Соболєва на торі $T^n$, тобто $2\pi$-періодичних за всіма змінними функцій, можна визначити за допомогою багатовимірних рядів Фур'є:

$H^k(T^n)=\{f\in L^2(T^n):\sum _{m_1,\dots ,m_n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1+m_1^{2k}+m_2^{2k}+\dots +m_n^{2k})|f_{m_1{m}_2\dots m_n}{|}^2<\mathrm{\infty }\}$.

Простори Соболєва дробового порядку

Для того щоб не було плутанини, нецілочисельне k будемо позначати як s, тобто $W^{s,p}$ або $H^s$.

У випадку 0<s<1 простір $W^{s,p}$ складається з функцій $f\in L_p(Q)$, $Q\subset R^n$ таких, що

$\Vert f{\Vert }_{W^{s,p}}={(\Vert f{\Vert }_{L_p(Q)}^p+\underset{Q}{\int }\frac{|f(x)-f(y){|}^p}{|x-y{|}^{n+ps}}dxdy)}^{1/p}.$

Для нецілого s>1 покладемо $s=[s]+\sigma$, де $[s]$ — ціла частина s. Тоді $W^{s,p}(Q)$ складається з елементів $W^{[s],p}(Q)$ таких, що $D^{\alpha }f\in W^{\sigma ,p}(Q)$ для $|\alpha |=[s]$ з нормою

$\Vert f{\Vert }_{W^{s,p}}={(\Vert f{\Vert }_{W^{[s],p}(Q)}^p+\sum _{|\alpha |=[s]}\Vert D^{\alpha }f{\Vert }_{W^{\sigma ,p}(Q)}^p)}^{1/p}.$

Простори Соболєва від'ємного порядку

При розгляді узагальнених рішень диференціальних рівнянь з частинними похідними природним чином виникає простори Соболєва від'ємного порядку. Простір $H^{-k}(Q)$ визначається за формулою:

$H^{-k}(Q)=(H_0^k(Q))$

де штрих означає сполучений простір. При цьому отримаємо, що простори Соболєва від'ємного порядку представляють собою простір узагальнених функцій. Так, наприклад, простір $H^{-1}(-1,1)$ містить $\delta$-функцію Дірака.

Теореми вкладання

Припускаючи, що межа області $Q\subset R^n$ задовольняє достатнім умовам гладкості, мають місце такі теореми вкладання.

Теорема вкладання Соболєва

Якщо $k+n/p<s$, то має місце неперервне вкладення

$W_p^s(Q)\subset C^k(\bar{Q})$.

Тут $k$ є цілим і невід'ємним, а $s$ може бути і дробовим (простори Соболєва дробового порядку). Ця теорема відіграє важливу роль у теорії функціональних просторів і диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Теорема Реліха — Кондрашова

Нехай область $Q$ обмежена, $s_1>s_2$, $1<p_1,p_2<\mathrm{\infty }$ і $n(1/p_1-1/p_2)<s_1-s_2$, тоді: вкладання $W_{p_1}^{s_1}(Q)\subset W_{p_2}^{s_2}$ цілком неперервно.

За допомогою теорем про компактність вкладання просторів Соболєва доводяться чимало теорем існування диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Показові приклади

Простори Соболєва мають істотні відміни від просторів неперервно диференційованих функцій.

Приклад розривної функції

Нехай $Q=\{x\in R^2:|x|<1/2\}$ — коло на площині. Функція $u(x)=\ln |\ln |x||$ належить простору $H^1(Q)$, але має розрив другого роду в точці $x=0$.

Простори Соболєва в одномірному випадку

Функції з простору $H^1(a,b)$ є неперервними. Для будь-яких двох функцій з простору $H^1(a,b)$ добуток цих функцій також належить $H^1(a,b)$. Тому простір Соболєва першого порядку на відрізку є банаховою алгеброю.

Див. також

• Теорема Трудінгера

Література

• Шаблон:Cite book
• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
• Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976