Границя функції в точці

$x$	$\frac{\sin x}{x}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Хоча функція $\frac{\sin x}{x}$ в нулі не визначена, проте коли $x$ наближається до нуля, її значення стає як завгодно близьким до 1. Іншими словами, границя цієї функції в нулі дорівнює 1.

Шаблон:Calculus Границя функції в точці, граничній для області визначення функції, називається таке число, до якого значення даної функції прямує при спрямуванні її аргументу до цієї точки. Одне з основоположних понять математичного аналізу.

Історія

Незважаючи на те, що математичний аналіз розвивався у 17-му та 18-му століттях, сучасна ідея границі функції походить від Бернарда Больцано, який у 1817 році ввів основи техніки епсилон-дельта для визначення неперервних функцій. Проте його роботи за життя не були відомими.

У своїй книзі Cours d'analyse 1821 року Оґюстен-Луї Коші обмірковував змінні величини, нескінченно малі та границі, визначив неперервність $y=f(x)$, сказавши, що нескінченно мала зміна x обов’язково призводить до нескінченно малої зміни у, при цьому використовував строге визначення епсилон-дельта в доведеннях. У 1861 році Вейєрштрас вперше ввів визначення границі в позначеннях епсилон-дельта у тому вигляді, який зазвичай записують сьогодні. Він також ввів позначення $\lim$ та ${\text{lim}}_{x\to x_0}$.

Сучасне позначення з розміщенням стрілки знизу $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}$ ввів Ґодфрі Гарольд Гарді у своїй книзі «Курс чистої математики» в 1908 році.

Означення

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай $A\subset ℝ$, причому $A\ne \mathrm{\varnothing }$, і $x_0$ — гранична точка множини $A$. У подальшому будемо розглядати функції $f:A\to ℝ$. Через $B(x_0,\delta )$ позначимо $\delta$-окіл точки $x_0$:

Означення за Коші

Число $a$ називається границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для довільного дійсного числа $\epsilon >0$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap B(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $|f(x)-a|<\epsilon$.

Позначення:

$a=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$

або

$f(x)\to a$ при $x\to x_0$.

Під $\epsilon$ і $\delta$ можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. Фактично, Коші використовував $\epsilon$ як позначення для «похибки» у деяких своїх роботах, а у своєму визначенні неперервності він використовував нескінченно малу $\alpha$, а не $\epsilon$ чи $\delta$. У цих позначеннях похибка $\epsilon$ обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані $\delta$ до граничної точки.

Означення за Гейне

Число $p$ називається границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для довільної послідовності ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A$, $x_n\ne x_0$ при $n\in \mathbb{N}$, що збігається до числа $x_0$, відповідна послідовність значень функції ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Односторонні границі

Односторонні границі не рівні. Отже, границі при x → x₀ не існує.

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя).

Означення правосторонньої границі

Нехай $A\subset ℝ$ і $x_0$ — гранична точка множини $A$ такі, що $\mathrm{\exists }\gamma >0:(x_0,x_0+\gamma )\subset A$. Число $p$ називається правосторонньою границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для довільного дійсного числа $\epsilon >0$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $(x_0,x_0+\delta )$ виконується нерівність $|f(x)-p|<\epsilon$.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+}f(x),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+0}f(x),\underset{x\downarrow x_0}{\lim }f(x),\underset{x\searrow x_0}{\lim }f(x);$

Означення лівосторонньої границі

Нехай $A\subset ℝ$ і $x_0$ — гранична точка множини $A$ такі, що $\mathrm{\exists }\gamma >0:(x_0-\gamma ,x_0)\subset A$. Число $p$ називається лівосторонньою границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для довільного дійсного числа $\epsilon >0$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $(x_0-\delta ,x_0)$ виконується нерівність $|f(x)-p|<\epsilon$.

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-}f(x),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-0}f(x),\underset{x\uparrow x_0}{\lim }f(x),\underset{x\nearrow x_0}{\lim }f(x).$

Використовуються також наступні скорочення:

• $f(x_0+)$ і $f(x_0+0)$ для правої границі;
• $f(x_0-)$ і $f(x_0-0)$ для лівої границі.

Якщо обидві односторонні границі існують в точці $x_0$ та рівні в ній, то можна показати, що $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)$. Якщо односторонні границі існують в точці $x_0$, але не рівні, то границі в точці $x_0$ не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклади

Відсутність односторонніх границь

Функція без границі в точці суттєвого розриву

Функція

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{5}{x-1},& x<1\\ 0,& x=1\\ \frac{0.1}{x-1},& x>1\end{array}$

не має границі в точці $x_0=1$ (лівостороння границя не існує через коливальний характер функції синуса, а правостороння границя не існує через асимптотичну поведінку оберненої функції), але має границю в кожній іншій точці.

Функція Діріхле

$D(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

не має границі в жодній точці дійсної прямої.

Нерівність односторонніх границь

Функція

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x<0\\ 2,& x⩾0\end{array}$

має границю для кожної ненульової точки x (дорівнює 1 для від’ємного x і дорівнює 2 для додатного x). Однак, границі при x = 0 не існує (лівостороння границя дорівнює 1, а правостороння — 2).

Існування границі лише в одній точці

Обидві функції

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

та

$f(x)=\{\begin{array}{cc}|x|,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

мають границю в точці x = 0 і вона дорівнює 0. В інших точка границі не існує.

Існування границі в зліченній кількості точок

Функція

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin x,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\\ 1,& x\in \mathbb{Q}\end{array}$

має границю в будь-якій точці $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$, де $n\in \mathbb{Z}$.

Границі, пов’язані з нескінченністю

Границя в нескінченності

Границя цієї функції при $x\to +\mathrm{\infty }$ існує.

Границя функції в нескінченності визначає поведінку значень функції, коли модуль її аргумента стає нескінченно великим. Існують різні означення таких границь, але вони рівгосильні між собою.

Границя в нескінченності за Коші

• Нехай $A\subset ℝ$, $A$ — необмежена зверху множина, $f:A\to ℝ$. Число $a$ називається границею функції $f$ при $x\to +\mathrm{\infty }$, якщо для довільного дійсного числа $\epsilon >0$ існує дійсне $\delta$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap (\delta ,+\mathrm{\infty })$ виконується нерівність $|f(x)-a|<\epsilon$.

Позначення: $a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ або $f(x)\to a$ при $x\to +\mathrm{\infty }$.

• Нехай $A\subset ℝ$, $A$ — необмежена знизу множина, $f:A\to ℝ$. Число $a$ називається границею функції $f$ при $x\to -\mathrm{\infty }$, якщо для довільного дійсного числа $\epsilon >0$ існує дійсне $\delta$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap (-\mathrm{\infty },\delta )$ виконується нерівність $|f(x)-a|<\epsilon$.

Позначення: $a=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ або $f(x)\to a$ при $x\to -\mathrm{\infty }$.

Границя в нескінченності за Гейне

• Нехай $A\subset ℝ$, $A$ — необмежена зверху множина, $f:A\to ℝ$. Число $p$ називається границею функції $f$ при $x\to +\mathrm{\infty }$, якщо для довільної послідовності ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A$, яка прямує до $+\mathrm{\infty }$ при $n\to +\mathrm{\infty }$, відповідна послідовність значень функції ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

• Нехай $A\subset ℝ$, $A$ — необмежена знизу множина, $f:A\to ℝ$. Число $p$ називається границею функції $f$ при $x\to -\mathrm{\infty }$, якщо для довільної послідовності ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A$, яка прямує до $-\mathrm{\infty }$ при $n\to +\mathrm{\infty }$, відповідна послідовність значень функції ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Нескінченні границі

Для функції, значення якої зростають або спадають безмежно, тобто функція розходиться, звичайна границя не існує. У цьому випадку можна ввести границі з нескінченними значеннями.

Нехай $A\subset ℝ$, $x_0$ — гранична точка множини $A$ і $f:A\to ℝ$.

Кажуть, що $f$ прямує до плюс нескінченності в точці $x_0$, якщо для довільного дійсного числа $C$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap B(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $f(x)>C$.

Позначення: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ або $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ при $x\to x_0$.

Кажуть, що $f$ прямує до мінус нескінченності в точці $x_0$, якщо для довільного дійсного числа $C$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap B(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $f(x)<C$.

Позначення: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ або $f(x)\to -\mathrm{\infty }$ при $x\to x_0$.

Можна поєднувати ідеї декількох означень границь в точці за Коші природним чином, щоб отримати визначення для різних комбінацій, наприклад

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty },\underset{x\to a+}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }.$

Так само можна поєднувати означення за Гейне.

Приклад:

$\underset{x\to 0+}{\lim }\ln x=-\mathrm{\infty }.$

Властивості

Нехай $A\subset ℝ$, $a$ — гранична точка $A$, задані функції $f,g:A\to ℝ$ та існують границі $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$, $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$. Тоді при таких умовах границя функції в точці має наступні властивості:

• Якщо $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a_1$ і $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a_2$, то $a_1=a_2$.

• Якщо $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a$ і $b\in ℝ:a<b$, то

• Якщо $\mathrm{\forall }x\in Af(x)⩽g(x)$, то $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)⩽\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$.

• Теорема про арифметичні дії

1. $\mathrm{\forall }C\in ℝ\underset{x\to x_0}{\lim }(Cf(x))=C\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$;
2. $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$;
3. $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$;
4. Якщо додатково $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\ne 0$, то Шаблон:Center
5. $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x{)}^{g(x)})={(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x))}^{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}g(x)}$ якщо права частина можлива.

Теорема про арифметичні дії також дійсна для односторонніх границь, у тому числі коли границя дорівнює $+\mathrm{\infty }$ або $-\mathrm{\infty }$. У кожній рівності вище, коли одна з границь праворуч дорівнює $+\mathrm{\infty }$ або $-\mathrm{\infty }$, границя ліворуч іноді все ще може визначатися наступними правилами:

• q + ∞ = ∞ якщо q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞ якщо q > 0
• q × ∞ = −∞ якщо q < 0
• q / ∞ = 0 якщо q ≠ ∞ і q ≠ −∞
• ∞^q = 0 якщо q < 0
• ∞^q = ∞ якщо q > 0
• q^∞ = 0 якщо 0 < q < 1
• q^∞ = ∞ якщо q > 1
• q^−∞ = ∞ якщо 0 < q < 1
• q^−∞ = 0 якщо q > 1

Границя композиції функцій

У загальному від того, що

$\underset{y\to b}{\lim }f(y)=c$ та $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=b$,

не випливає, що $\underset{x\to a}{\lim }f(g(x))=c$, де $f:A\to ℝ$ і $g:B\to ℝ$, b — гранична точка множини A, a — гранична точка множини B. Це «правило ланцюга» діє, якщо виконується одна з наступних додаткових умов:

• $f(b)=c$, тобто f неперервна в b;
• $\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }x\in B\cap B(a,\delta )|g(x)-b|>0$, тобто g не приймає значення b поблизу a.

Для прикладу розглянемо таку функцію, яка порушує обидві умови:

$f(x)=g(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}.$

Оскільки точка 0 є розривом, який можна усунути, то

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$ для всіх $a\in ℝ$.

Таким чином, наївне «правило ланцюга» передбачає, що границя $f(f(x))$ дорівнює 0. Однак

$f(f(x))=\{\begin{array}{cc}1,& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$

і тому

$\underset{x\to a}{\lim }f(f(x))=1$ для всіх $a\in ℝ$.

Правило Лопіталя

Шаблон:Main Це правило використовує похідні, щоб розкрити невизначеності вигляду Шаблон:Math або Шаблон:Math, і застосовується лише до таких випадків. Нехай Шаблон:Math і Шаблон:Math, визначені на відкритому інтервалі Шаблон:Math, що містить граничну точку c, які задовольняють наступні умови:

1. $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0,$ або $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\pm \underset{x\to c}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$,
2. $f$ і $g$ диференційовні на $I\setminus \{c\}$,
3. $g^{\prime }(x)\ne 0$ для всіх $x\in I\setminus \{c\}$,
4. $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ існує.

Тоді

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

Наприклад,

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (2x)}{\sin (3x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos (2x)}{3\cos (3x)}=\frac{2\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}.$

Основні приклади границь функцій в точці

Раціональні функції

Для цілого невід’ємного числа $n$ та констант $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ і $b_1,b_2,b_3,\dots ,b_n$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+a_3{x}^{n-2}+...+a_n}{b_1{x}^n+b_2{x}^{n-1}+b_3{x}^{n-2}+...+b_n}=\frac{a_1}{b_1}$.

Це можна довести, поділивши як чисельник, так і знаменник на $x^n$. Якщо чисельник є поліномом більшого степеня ніж знаменник, то у цьому випадку раціональна функція прямує до $+\mathrm{\infty }$. Якщо знаменник більшого степеня ніж чисельник, то границя дорівнює 0.

Тригонометричні функції

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ — перша чудова границя
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

Експоненціальні функції

• $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{r})}^r=e$ — друга чудова границя
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{bx}=\frac{a}{b}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{c^{ax}-1}{bx}=\frac{a}{b}\ln c$
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=1$

Логарифмічні функції

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+ax)}{bx}=\frac{a}{b}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_c(1+ax)}{bx}=\frac{a}{b\ln c}$

Узагальнення на метричні простори

Нехай $(X,\rho )$, $(Y,\sigma )$ — метричні простори, $A\subset X$, $x_0$ — гранична точка множини $A$. Елемент $a\in Y$ називається границею функції $f:A\to Y$ в точці $x_0$, якщо

Також можна дати інше еквіваленте означення границі в точці для метричних просторів, аналогічне до означення за Гейне, розглянутого вище.

Елемент $p\in Y$ називається границею функції $f:A\to Y$ в точці $x_0$, для довільної послідовності ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A$, $x_n\ne x_0$ при $n\in \mathbb{N}$, що збігається до елемента $x_0\in X$, відповідна послідовність значень функції ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збіжна і має границею один і той самий елемент $p$.

Найбільш важливими є наступні випадки:

1. $X=Y=ℝ$, $f:A\to ℝ$ — дійсна функція, визначена на множині $A$ дійсних чисел;
2. $X={ℝ}^n,Y=ℝ$, $f:A\to ℝ$ — дійсна функція n-змінних;
3. $X={ℝ}^n,Y={ℝ}^m$, $f:A\to ℝ$ — векторна функція n-змінних;
4. $(X,\rho )$ — метричний простір, $Y=ℝ$, $f:A\to ℝ$ — дійсна функція, яка задана на множині $A$ метричного простору.

Узагальнення на топологічні простори

Нехай $(X,{\tau }_X)$ — топологічний простір, $(Y,{\tau }_Y)$ — гаусдорфів топологічний простір, $A\subset X$, $x_0$ — гранична точка множини $A$. Елемент $a\in Y$ називається границею функції $f:A\to Y$ в точці $x_0$, якщо

Означення, аналогічне до Гейне вже буде частковим випадком, визначиного вище, а не рівносильним йому.

Вимога, щоб простір Y був гаусдорфовим, може бути послаблена до припущення, що Y є просто топологічним простором, але тоді границя функції може не бути єдиною. Тому вже не можна буде говорити про границю функції в точці, а скоріше про множину границь у точці.

Див. також

• Границя послідовності
• Верхня і нижня границі
• Повторна границя
• Узагальнена послідовність
• Стискна теорема — обчислення границі шляхом обмеження функції між двома іншими функціями
• Нотація Ландау — нотації, що описують асимптотичну поведінку функцій
• Асимптотична рівність

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation