Теорема про розподіл простих чисел

Теорема про розподіл простих чисел — теорема аналітичної теорії чисел, що описує асимптотику розподілу простих чисел. А саме, вона стверджує, що кількість $\pi (n)$ простих чисел на відрізку від 1 до n зростає із зростанням n як $n/\ln n$, тобто

$\frac{\pi (n)}{n/\ln n}\to 1,n\to \mathrm{\infty }.$

Інакше кажучи, це означає, що у випадково вибраного числа від 1 до n, для достатньо великих n, ймовірність виявитися простим приблизно рівна $1/\ln n$.

Також ця теорема може бути еквівалентним чином перефразована для опису поведінки $k$-го простого числа $p_k$: вона стверджує, що

$p_k\sim k\ln k,k\to \mathrm{\infty }$

(тут і далі запис $f\sim g$ означає $f/g\to 1$).

Історія

Ґрунтуючись на таблицях простих чисел, складених Фелкелем і Вегою, Лежандр припустив в 1796 році, що функція $\pi (x)$ може бути наближена виразом $x/(\ln (x)-B)$, де $B=1.08...$ — константа, близька до $1$. Гаус, розглядаючи те ж питання і використовуючи доступні йому результати обчислень і деякі евристичні міркування розглянув іншу функцію — інтегральний логарифм $\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\ln x}dx$, проте не став публікувати цього твердження. Обидва наближення, як Лежандра, так і Гауса, приводять до однієї і тієї ж асимптотичної еквівалентності функцій $\pi (x)$ і $x/\ln (x)$, вказаної вище, хоча наближення Гауса і виявляється істотно кращим, якщо при оцінці помилки розглядати різницю функцій замість їх відношення.

У двох своїх роботах, 1848 і 1850 роки, Чебишов довів, що верхня M і нижня m границі відношення

$\frac{\pi (x)}{x/\ln x}(*)$

задовольняють нерівності $0.92129⩽m⩽M⩽1.10555$, а також, що якщо границя відношення (*) існує, то вона рівна 1.

У 1859 році з'явилася робота Рімана, в якій він розглянув (введену Ейлером як функцію дійсного аргументу) $\zeta$-функцію в комплексній області, і пов'язав її поведінку з розподілом простих чисел. Розвиваючи ідеї цієї роботи, в 1896 році Адамар і Валле-Пуссен одночасно і незалежно довели теорему про розподіл простих чисел.

Нарешті, в 1949 році з'явилося доведення Ердеша—Сельберга, що не застосовує понять комплексного аналізу.

Загальний хід доказу

Переформулювання в термінах псі-функції Чебишова

Загальним початковим етапом міркувань є переформулювання твердження за допомогою псі-функції Чебишова, що визначається як

$\psi (x)=\sum _{p^k⩽x}\log p(*)$

іншими словами, псі-функція Чебишова це сума функції фон Мангольдта:

$\psi (x)=\sum _{n⩽x}\mathrm{\Lambda }(n),\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p,& n=p^k,k⩾1,p\text{is a prime}\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$

А саме, виявляється, що асимптотичний закон розподілу простих чисел рівносильний тому, що

$\psi (x)\sim xx\to \mathrm{\infty }.$

Це твердження є вірним тому, що логарифм «майже сталий» на більшій частині відрізка $[1,n]$, а внесок квадратів, кубів, і т. д. в суму (*) є малим; тому практично всі логарифми $\ln p$ приблизно рівні $\ln x$, і функція $\psi (x)$ асимптотично рівна $\pi (x)\cdot \ln x$.

Класичні міркування: перехід до дзета-функції Рімана

Як випливає з тотожності Ейлера

$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1}-p^{-s}$

ряд Діріхле, що відповідає функції фон Мангольдта, рівний мінус логарифмічній похідній дзета-функції:

$\sum _n\mathrm{\Lambda }(n)n^{-s}=-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}.$

Крім того, інтеграл по вертикальній прямій, що знаходиться праворуч від 0, від функції $a^s/s$ рівний $2\pi i$ при $a>1$ і 0 при $0<a<1$. Тому, множення правої і лівої частини на $\frac{1}{2\pi i}{x}^s/s$ й інтегрування по вертикальній прямій по $ds$ залишає в лівій частині суму $\mathrm{\Lambda }(n)$ з $n⩽x$. З іншого боку, застосування теореми про лишки дозволяє записати ліву частину у вигляді суми лишків; кожному нулю дзети-функції відповідає полюс першого порядку її логарифмічної похідної, із лишком, рівним 1, а полюсу першого порядку в точці $s=1$ — полюс першого порядку з лишком, рівним $(-1)$.

Строга реалізація цієї програми дозволяє одержати явну формулу Рімана:

$\psi (x)=x-\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\rho :\zeta (\rho )=0,}{0<Re(\rho )<1}}\frac{x^{\rho }}{\rho }-\log (2\pi )-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}).(**)$

де сума обчислюється по нулях $\rho$ дзета-функції, що лежать у смузі $0<Re(s)<1$, доданок $-\log (2\pi )=-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}$ відповідає полюсу $x^s/s$ у нулі, а доданок $-\log (1-x^{-2})/2$ — так званим «тривіальним» нулям дзета-функції $s=-2,-4,-6,\dots$.

Відсутність нетривіальних нулів дзета-функції поза критичною смугою і спричиняє еквівалентність $\psi (x)\sim x$ (сума у формулі (**) зростатиме повільніше, ніж x).

Елементарне доведення: завершення Ердеша—Сельберга

Основна теорема арифметики, що записується після логарифмування як

$\ln n=\sum _{p,k:p^k|n}\ln p$

таким чином формулюється в термінах арифметичних функцій і згортки Діріхле як

$\ln =\mathrm{\Lambda }*\mathrm{𝟏},$

де $\ln$ і $\mathrm{𝟏}$ — арифметичні функції, логарифм аргументу і тотожна одиниця відповідно.

Формула обертання Мебіуса дозволяє перенести $\mathrm{𝟏}$ у праву частину:

$\mathrm{\Lambda }=\ln *\mu ,(**)$

де $\mu$ — функція Мебіуса.

Сума лівої частини (**) — шукана функція $\psi$. У правій частині, застосування формули гіперболи Діріхле дозволяє звести суму згортки до суми $\sum _{k}L(n/k)\mu (k),$ де $L$ — сума логарифма. Застосування формули Ейлера — Маклорена дозволяє записати $L(n)$ як

$L(n)=n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln n+\gamma +o(1),$

де $\gamma$ — стала Ейлера. Виділяючи з цього виразу доданки, що мають вигляд $\sum _{k}F(n/k)$ для відповідним чином підібраної функції F (а саме $F(x)=x-\gamma -1$), і позначаючи через R залишок, маємо через обертання Мебіуса

$\mathrm{\Lambda }=F+\sum _{k}R(n/k)\mu (k).$

Оскільки $F(x)\sim x,$ залишається перевірити, що другий доданок має вигляд $o(x)$. Застосування леми Аскера дозволяє звести цю задачу до перевірки твердження $M(x)=o(x),$ де $M(x)=\sum _{n⩽x}\mu (n)$ — сума функції Мебіуса.

Малість сум функції Мебіуса на підпослідовності випливає з формули обертання, застосованої до функції $1/n$.

Далі, функція Мебіуса в алгебрі арифметичних функцій (з мультиплікативною операцією-згорткою) задовольняє «диференціальному рівнянню» першого порядку

${\mu }^{\prime }=-\mu *\mathrm{\Lambda },$

де $f^{\prime }(n)=f(n)\cdot \ln n$ — диференціювання в цій алгебрі (перехід до рядів Діріхле перетворює його на звичайне диференціювання функції). Тому вона задовольняє і рівнянню другого порядку

${\mu }^{″}=\mu *(\mathrm{\Lambda }*\mathrm{\Lambda }-{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }).$

Перехід до середнього у цьому рівнянні дозволяє те, що асимптотика суми функції ${\mathrm{\Lambda }}_2=\mathrm{\Lambda }*\mathrm{\Lambda }+\mathrm{\Lambda }$ оцінюється краще, ніж асимптотика сум $\mathrm{\Lambda }$, дозволяє оцінювати відношення M(x) /x через середні значення такого відношення. Така оцінка разом з «малістю за послідовністю» і дозволяє одержати шукану оцінку $M(x)=o(x)$.

Див. також

• Стала простих чисел
• Функція розподілу простих чисел

Посилання

• Шаблон:MathWorld

Література

• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques. [1] Шаблон:Webarchive, Bull. Soc. Math. France, 24(1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• П. Л. Чебышев, «Об определении числа простых чисел, меньших данной величины», 1848
• П. Л. Чебышев, «О простых числах», 1850
• Erdős, P. «Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers.» Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. «An Elementary Proof of the Prime Number Theorem», Ann. Math. 50, 305—313, 1949.
• А. Г. Постников, Н. П. Романов, «Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел», УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87