Інтегральний логарифм

Інтегральний логарифм — спеціальна функція, що визначається для дійсних $x\ne 1,$ рівністю:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}.$ при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{dt}{\ln t}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}).$

Інтегральний логарифм

Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}.$

Між двома функціями справедлива рівність:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)-\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{l}\mathrm{i}(2)\approx 1,045163780117492\dots$

Властивості

• При малих x:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)\approx \frac{x}{\ln (1/x)}$

• Інтегральний логарифм пов'язаний з інтегральною показниковою функцією

Ei(x) співвідношеннями:

$\text{li}(x)=\text{Ei}(\ln x),$

• Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\ln x{)}^n}{n\cdot n!},$

де $\gamma \approx 0,577215664901532\dots$ — стала Ейлера;

• Інший ряд, що збігається швидше був виведений Срінівасою Рамануджаном:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln \ln x+\sqrt{x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(\ln x{)}^n}{2^{n-1}n!}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}.$

• Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці $\mu \approx 1,451369234883381050283968485892027449493\dots$ — стала Рамануджана — Солднера

Комплексна змінна

Шаблон:Див. також Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln x)=\gamma +\ln (-\ln z)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\ln z{)}^n}{n\cdot n!},$

Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від -$\mathrm{\infty }$ до 0 і від 1 до $\mathrm{\infty }$ (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від -$\pi$ до $\pi$).

Застосування в теорії чисел

Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел. Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел:

$\pi (x)\sim \text{li}(x)\sim \text{Li}(x),$ де $\pi (x)$ — кількість простих чисел менших або рівних x.

Див. також

• Інтегральна показникова функція
• Інтегральний косинус
• Теорема про розподіл простих чисел

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.