Квадратне рівняння

Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду:

$a{x}^2+bx+c=0,$ де $a\ne 0$,

де Шаблон:Math є невідомою змінною, а Шаблон:Math, Шаблон:Math, і Шаблон:Math є сталими відомими числами, такими що Шаблон:Math не дорівнює нулю Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math, тоді рівняння буде лінійним, а не квадратним рівнянням. Числа Шаблон:Math, Шаблон:Math, і Шаблон:Math є коефіцієнтами рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, квадратичним коефіцієнтом, лінійним коефіцієнтом і вільною сталою.

Квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою процедури розкладання на множники, методу виділення квадрата, за допомогою побудови графіка функції, або з використанням квадратичної формули, що є загальним розв'язком цього рівняння:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 році до нашої ери.

Перші згадки

Стародавній Вавилон

Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавилоняни знали, як розв'язувати квадратні рівняння. Розв'язання їх в Стародавньому Вавилоні було тісно пов'язане з практичними завданнями, в основному такими, як обчислення площі земельних ділянок, земельні роботи, пов'язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв'язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв'язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:

$x^2+x=3/4$

Правила розв'язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.

Загальні відомості

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа $a,b,c$ — його коефіцієнти, при чому $a$ також називається першим коефіцієнтом, $b$ — другим, $c$ — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

• або два різних дійсних корені,
• або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
• або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як $x_1$ та $x_2$ або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то $x_{1,2}.$ В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: $x_{+}$ і $x_{-}.$.)

Неповні квадратні рівняння

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо $a=0$, то $a{x}^2+bx+c=0$ перетворюється у лінійне рівняння $bx+c=0$. Якщо хоч один коефіцієнт $b$ або $c$ дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним.

Розв'язування неповних квадратних рівнянь

• $a{x}^2=0$ рівносильне рівнянню $x^2=0$ і тому завжди має тільки один корінь $x=0$.
• $a{x}^2+bx=0$ розв'язується винесенням за дужки $x$: $x(ax+b)=0$. Таке рівняння має два корені: $x_1=0,x_2=-b/a$
• $a{x}^2+c=0$ рівносильне рівнянню $x^2=-c/a$. Якщо $-c/a>0$, воно має два дійсних розв'язки, якщо $-c/a<0$ — жодного дійсного.

Зведені квадратні рівняння

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці $(a=1)$. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на $a$:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$

Повне квадратне рівняння

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів $a,b,c$ не дорівнює нулю.

Виділення квадрату

Шаблон:Main Для зведеного квадратного рівняння

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$

використаємо формулу скороченого множення про квадрат суми, щоб позбутись доданка з першим степенем:

${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Дискримінант

Шаблон:Main Оскільки $4a^2>0,$ то кількість коренів залежить тільки від знаку чисельника правої частини

$D=b^2-4ac$

який називають дискриміна́нтом (Шаблон:Lang-la — розрізняючий), та позначають латинською літерою $D$.

Формула

Якщо $D>0$, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню $(2ax+b{)}^2={\left(\sqrt{D}\right)}^2$, звідки

$2ax+b=\sqrt{D},x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},$

або

$2ax+b=-\sqrt{D},x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед $\sqrt{D}$. Коротко ці корені записують так:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$, де $D=b^2-4ac(1).$

Якщо $D=0$, то $2ax+b=0$, звідки $x=-\frac{b}{2a}$ — єдиний корінь (точніше — два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\cdot \sqrt{-b^2+4ac}}{2a}.$

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

$x_{1,2}=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a},$ де :$k=\frac{b}{2}.$

Приклад:

$2x^2+3x-5=0.$

$a=2$ $b=3$ $c=-5$

$D=3^2-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49=7^2$

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед $\sqrt{D}$

$x_1=\frac{-3-7}{4}=-2,5$

$x_2=\frac{-3+7}{4}=1$

Теорема Вієта

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ і позначимо $\frac{b}{a}$ через $p,$ а $\frac{c}{a}$ через $q.$ Тоді воно матиме такий вигляд:

$x^2+px+q=0,$

отже за теоремою Вієта:

$x_1+x_2=-p,$

$x_1\cdot x_2=q.$

Доведення

Якщо рівняння $x^2+px+q=0$ має корені $x_1$ і $x_2,$ то їх можна знаходити за формулами:

$x_1=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$ і $x_2=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}.$

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

$x_1+x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}+\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}=-p,$

$x_1\cdot x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}*\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}=q.$

Теорема обернена до теореми Вієта

Якщо сума і добуток чисел $m$ і $n$ дорівнюють відповідно $-p$ і $q$, то $m$ і $n$ — корені рівняння $x^2+px+q=0.$

Використання теореми Вієта та оберненої до неї

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

$2x^2+16x+14=0.$

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

$x^2+8x+7=0.$

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

$x_1=-7,x_2=-1.$

Інші методи розв'язування

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в пригоді у деяких окремих випадках. Так, наприклад, формулу

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

$x_{1,2}=\frac{2c}{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}(2),$

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при $c=0$. Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

$x_1=\frac{-b-\mathrm{sgn}b\sqrt{b^2-4ac}}{2a},$

$x_2=\frac{c}{a{x}_1},$

де $\mathrm{sgn}b$ — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія

Графік функції y = x² − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x² − x − 2 = 0

Корені рівняння

$a{x}^2+bx+c=0$

є також нулями функції

$f(x)=a{x}^2+bx+c.$

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли $D=0$, графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація

Шаблон:Див. також Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, де $x_1,x_2$ — корені цього рівняння.

Доповнення до квадрата

В процесі доповнення до квадрата використовують алгебраїчне рівняння

$x^2+2hx+h^2=(x+h{)}^2,$

яке визначає чітко визначений алгоритм, який можна використати для розв'язку квадратного рівняння. Розпочнемо із квадратного рівняння наступної форми, Шаблон:Math

1. Розділимо кожну його частину на Шаблон:Math, коефіцієнт при квадратному члені рівняння.
2. Віднімемо сталу Шаблон:Math з обох частин рівняння.
3. Додайте квадрат половини значення Шаблон:Math, коефіцієнта при Шаблон:Math, до обох частин рівняння. Це «доповнює квадрат», перетворюючи ліву частину у ідеальний квадрат.
4. Перепишіть ліву частину у вигляді квадрата і спростіть праву частину при необхідності.
5. Отримаємо два лінійні рівняння прирівнявши квадратний корінь у лівій частині із додатнім і від'ємним квадратним коренями правої частини.
6. Знайдемо розв'язок двох лінійних рівнянь.

Наведемо приклад роботи алгоритма, розв'язавши рівняння Шаблон:Math

$1)x^2+2x-2=0$

$2)x^2+2x=2$

$3)x^2+2x+1=2+1$

$4){(x+1)}^2=3$

$5)x+1=\pm \sqrt{3}$

$6)x=-1\pm \sqrt{3}$

Подвійний знак плюс-мінус «±» означає, що обидва варіанти Шаблон:Math і Шаблон:Math є розв'язками квадратного рівняння.

Рівняння, що зводяться до квадратних

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду $a{x}^{2n}+b{x}^n+c=0$, зробивши заміну $t=x^n$. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

$3x^6-21x^3+30=0.$

Зробимо заміну $t=x^3$:

$3t^2-21t+30=0.$

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

$t_1=\frac{2\cdot 30}{21+\sqrt{(-21{)}^2-4\cdot 3\cdot 30}}=\frac{60}{21+\sqrt{441-360}}=\frac{60}{30}=2,$

$t_2=\frac{2\cdot 30}{21-\sqrt{(-21{)}^2-4\cdot 3\cdot 30}}=\frac{60}{21-\sqrt{441-360}}=\frac{60}{12}=5.$

Маючи значення $t$ легко знайти корені початкового рівняння:

$x_1=\sqrt[3]{t_1}=\sqrt[3]{2},$

$x_2=\sqrt[3]{t_2}=\sqrt[3]{5}.$

Приклади і застосування

Траєкторія польоту при стрибанні з кручі у воду параболічна, оскільки горизонтальне переміщення є лінійною функцією від часу $x=v_{x}t$, а вертикальне переміщення є квадратичною функцією від часу $y=\frac{1}{2}a{t}^2+v_{y}t+h$. В результаті, шлях буде задаватися квадратним рівнянням $y=\frac{a}{2v_x^2}{x}^2+\frac{v_y}{v_x}x+h$, де $v_x$ і $v_y$ — горизонтальна і вертикальна компоненти початкової швидкості, Шаблон:Math є гравітаційним прискоренням, а Шаблон:Math є початковою висотою. Значення Шаблон:Math слід задавати від'ємним, оскільки напрям падіння (вниз) є протилежним до вимірювання висоти (вгору).

Золотий перетин можна знайти як додатній розв'язок квадратного рівняння $x^2-x-1=0$.

Рівняння кола і інших конічних перетинів — еліпса, параболи, і гіперболи — є квадратними рівняннями двох змінних.

При відомому косинусі або синусі кута, знайти косинус або синус половини цього кута можна за допомогою вирішення квадратного рівняння.

Теорема Декарта стверджує, що для будь-яких чотирьох взаємно дотичних кіл, їх радіуси задовольнятимуть певному квадратному рівнянню.

Теоремою Фаусса визначається рівняння, яке задає співвідношення між радіусом кола вписаного в біцентричний чотирикутник і радіусом описаного кола та відстанню між центрами цих кіл. Рівняння можна представити у вигляді квадратного рівняння, в якому розв'язком буде відстань між двома центрами кіл із заданими радіусами. Іншим розв'язком того ж рівняння, при відповідних радіусах дасть відстань між центрами описаного кола і зовнішнього кола зовні-описаного чотирикутника.

Історія

Стародавня Греція

У стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Індія

Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 р.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду: $a{x}^2+bx+c=0,$причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім $a$, можуть бути від'ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.

Аль-Хорезмі описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Європа

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Див. також

• Рівняння
• Кубічне рівняння
• Теорема Вієта
• Формули скороченого множення

Джерела

• Шаблон:Завало.Курс алгебри
• Шаблон:Cite web

Посилання

• Шаблон:УСЕ-4