Розмірність Круля

У абстрактній алгебрі, розмірність Круля кільця R — число строгих включень в максимальному ланцюзі простих ідеалів. Розмірність Круля не обов'язково є обмеженою навіть для нетерових кілець.

Означення

Якщо P₀, P₁, ... , P_n — прості ідеали кільця такі що $P_0⊊P_1⊊\dots ⊊P_n$, то кажуть, що ці ідеали утворюють ланцюг довжини n. Розмірність Круля — супремум довжин ланцюгів головних ідеалів.

Приклади

• У кільці (Z/8Z)[x,y,z] ми можемо розглядати ланцюг

$(2)⊊(2,x)⊊(2,x,y)⊊(2,x,y,z)$

Кожен з цих ідеалів головний, так що розмірність Круля (Z/8Z)[x, y, z] є як мінімум 3. Фактично розмірність цього кільця рівна точно 3.

• Довільне поле k має розмірність Круля 0.
• Кільце многочленів $k[x_1,...,x_n]$ і кільце формальних степеневих рядів $k[[x_1,...,x_n]]$ над деяким полем k мають розмірність Круля n. Більш загально для довільного нетерового комутативного кільця R для розмірності Круля виконується рівність $\dim (R[x_1,\dots ,x_n])=\dim (R[[x_1,\dots ,x_n]])=\dim R+n.$
• Для довільного комутативного кільця R розмірність Круля кільця многочленів задовольняє нерівність: $\dim (R)+1⩽\dim (R[x_1,\dots ,x_n])⩽2\dim (R)+1.$ Для кільця формальних степеневих рядів у цьому випадку виконується лише нерівність $\dim (R)+1⩽\dim (R[[x_1,\dots ,x_n]]).$ Натомість існують кільця скінченної розмірності Круля над якими кільце формальних степеневих рядів має нескінченну розмірність.

Зокрема кільце $R[[x]]$ має нескінченну розмірність тоді і тільки тоді, коли існує простий ідеал $𝔭$ для якого $𝔭[[x]]\ne \sqrt{𝔭R[[x]]}.$ Тут $𝔭[[x]]$ позначає формальні степеневі ряди із коефіцієнтами із $𝔭,$ а $\sqrt{𝔭R[[x]]}$ — радикал ідеалу у $R[[x]]$ породженого $𝔭.$ Зокрема, якщо R — кільце розмірності 0, то розмірність $R[[x]]$ рівна або 1 або нескінченності.

Прикладом скінченновимірних комутативних кілець для якого $R[[x]]$ має нескінченну розмірність є кільця недискретного нормування розмірності 1. Іншим прикладом є $R=\mathbb{Q}[x_1,x_2,\dots ]/(x_1^n,x_2^n,\dots ),n⩾2,$ яке є кільцем розмірності 0, а також всі скінченновимірні кільця спектр яких не є нетеровим топологічним простором.

• Кільце головних ідеалів, що не є полем, має розмірність Круля 1.
• Розмірність довільного кільця Артіна є рівною 0.
• Розмірність довільного кільця Дедекінда є рівною 1.
• Локальне кільце має нульову розмірність тоді і тільки тоді, коли всі елементи його максимального ідеалу є нільпотентними.
• Приклад Наґати. Нехай $R=k[x_1,...,x_n,...]$ — кільце многочленів зі зліченною кількістю змінних. Розглянемо послідовність простих ідеалів ${𝔭}_1=(x_1),{𝔭}_2=(x_2,x_3),{𝔭}_3=(x_4,x_5,x_6),\dots$Тоді $S=R\setminus \cup {𝔭}_i$є мультиплікативною множиною і можна розглянути локалізацію $A=S^{-1}R.$Нехай також ${𝔪}_i=S^{-1}{𝔭}_i.$Множина ${𝔪}_i$є множиною максимальних ідеалів кільця A. Справді ідеали кільця A є у бієктивній відповідності із ідеалами кільця R, що містяться у $\cup {𝔭}_i.$Якщо $𝔞$є таким ненульовим ідеалом то $𝔞\subset {𝔭}_i$ для деякого i. Справді, якщо це не так, то з запису $\bigcup {𝔭}_i={𝔭}_1\cup \dots {𝔭}_n\cup \bigcup _{k>n}{𝔭}_k$ і леми про уникнення простих ідеалів випливає що $𝔞\subset \bigcup _{k>n}{𝔭}_k$ для всіх n. Але перетин таких множин є рівним нуля, що суперечить припущенню.

Будь-який ненульовий елемент кільця A належить лише скінченній кількості максимальних ідеалів ${𝔪}_i$, адже будь-який ненульовий елемент кільця R належить лише скінченній кількості ідеалів ${𝔭}_i$, що випливає з того, що будь-який елемент кільця R є елементом деякого підкільця зі скінченною кількістю змінних і тому не може містити породжуючих елементів для всіх ${𝔭}_i.$

Кожна локалізація $A_{{𝔪}_i}=R_{{𝔭}_i}$ є нетеровим кільцем. Дійсно якщо ${𝔭}_i=(x_k,\dots ,x_{k+i-1}),$ то $R_{{𝔭}_i}=\simeq K[x_k,\dots ,x_{k+i-1}{]}_{(x_k,\dots ,x_{k+i-1})},$ де K — поле часток підкільця многочленів у R, що не містять змінних $x_k,\dots ,x_{k+i-1}.$ Твердження отримується з того, що кільце многочленів над полем (зі скінченною кількістю змінних) і будь-яка його локалізація є нетеровими кільцями.

Для довільного комутативного кільця R, якщо кожен його ненульовий елемент міститься лише у скінченній кількості максимальних ідеалів і локалізація по кожному максимальному кільці є кільцем Нетер, то і R — кільце Нетер. Справді для довільної зростаючої послідовності ідеалів довільний елемент якогось із ідеалів належить лише скінченній множині максимальних ідеалів. Але тоді і кожен ідеал зростаючої послідовності є підмножиною цієї скінченної множини максимальних ідеалів. Тому існує деякий максимальний ідеал якому належить нескінченна кількість ідеалів послідовності. Оскільки при переході до локалізації по цьому максимальному ідеалу підпослідовність стабілізується то це ж є справедливим і для початкової підпослідовності, а тому всієї послідовності. Отже R — кільце Нетер. Зокрема і частковий випадок $R=k[x_1,...,x_n,...]$ є нетеровим кільцем, оскільки вказані умови виконуються.

Натомість у ${𝔪}_i$ існує ланцюг простих ідеалів довжини $i$. Оскільки $i$ є необмеженим числом то $R$ має розмірність рівну нескінченності і є прикладом нескінченновимірного нетерового кільця.

• Натомість довільне напівлокальне нетерове кільце має скінченну розмірність.

Властивості

• Розмірність Круля кільця R рівна супремуму висот всіх простих ідеалів R. Зокрема, область цілісності має розмірність Круля 1, коли кожен відмінний від нуля простий ідеал є максимальним ідеалом.

• Область цілісності є полем, якщо і тільки якщо його розмірність Круля рівна нулю.

• Розмірність Круля кільця є рівною розмірності будь-якого його цілого розширення.
• Для кільця R і простого ідеалу $𝔭\in R$ виконується нерівність $\mathrm{ht}𝔭+\mathrm{coht}𝔭⩽\dim R.$

Нерівність може бути строгою навіть для нетерових кілець. Нехай, наприклад, $A=k[[X,Y,Z]]$ — кільце формальних степеневих рядів від трьох змінних над полем k, I — ідеал породжений XY і XZ і R = A/I. Тоді $\dim R=2.$ Якщо позначати $\overline{Y},\overline{Z}$ — образи $Y,Z$ у R, то висота ідеалу $(\overline{Y},\overline{Z})$ є рівною 0, а оскільки $R/(\overline{Y},\overline{Z})\simeq k[[X]]$ то $\mathrm{coht}(\overline{Y},\overline{Z})=\dim k[[X]]=1.$ Тому $\mathrm{ht}(\overline{Y},\overline{Z})+\mathrm{coht}(\overline{Y},\overline{Z})=1<\dim R.$

Розмірність модуля

Якщо R — комутативне кільце і M — R-модуль, розмірність Круля M визначається як розмірність Круля факторкільця по анулятору модуля:

${\dim }_{R}M:=\dim (R/{\mathrm{Ann}}_R(M))$

де Ann_R(M) — ядро відображення R → End_R(M) (що зіставляє елементу кільця множення на цей елемент).

Також можна дати означення за допомогою рівностей ${\dim }_{R}M=\underset{𝔭\in \mathrm{Supp}M}{\sup }\mathrm{coht}(𝔭)=\underset{𝔭\in \mathrm{Ass}M}{\sup }\mathrm{coht}(𝔭),$ де $\mathrm{Supp}M$ — носій модуля, а $\mathrm{Ass}M$— множина асоційованих простих ідеалів модуля.

Див. також

• Висота (теорія кілець)

Джерела

• R. Gordon, J. Ch. Robson, Krull dimension, American Mathematical Society, 1978, ISBN 0-8218-1833-3.
• J. C. McConnell, J. C. Robson, Lance W. Small, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2169-5.