Носій модуля

У комутативній алгебрі, носій модуля M над комутативним кільцем A є множиною всіх простих ідеалів $𝔭$ A для яких $M_{𝔭}\ne 0$. Ця множина позначається $\mathrm{Supp}(M)$. Згідно з означенням носій є підмножиною спектру кільця A.

Властивості

• Якщо $M$ є модулем над кільцем $A$ породженим єдиним елементом $x$ і $I=\mathrm{Ann}(x)$, то $\mathrm{Supp}(M)=V(I)$, тобто множині усіх простих ідеалів, що містять ідеал $I.$

Нехай $𝔭$ — простий ідеал у кільці $A$. Тоді, згідно з означенням локалізації модуля елемент $x/1=0$ у $M_{𝔭}$ тоді і тільки тоді, коли існує елемент $s\in A\setminus 𝔭$, такий що $sx=0$, тобто якщо $(A\setminus 𝔭)\cap \mathrm{Ann}(x)\ne \mathrm{\varnothing }.$ Відповідно для того щоб ця рівність не виконувалася (і, як наслідок, модуль $M_{𝔭}$ був ненульовим), необхідно і достатньо щоб $𝔭$ містив ідеал $\mathrm{Ann}(x)=I$, що і треба було довести.

• $M=0$ якщо і тільки якщо його носій є пустою множиною.

Якщо модуль є нульовим, то і всі його локалізації є нульовими. Навпаки, якщо є хоча б один ненульовий елемент $x\in M$, то як і в попередній властивості, довільний простий ідеал, що містить $\mathrm{Ann}(x)$ належить $\mathrm{Supp}(M)$.

• Якщо $M$ є сумою підмодулів $M_{\lambda }$, тоді $\mathrm{Supp}(M)={\cup }_{\lambda }\mathrm{supp}(M_{\lambda }).$

Оскільки для всіх $M_{\lambda }$ справедливим є включення $(M_{\lambda }{)}_{𝔭}\subset M_{𝔭}$ то $\mathrm{Supp}(M)\supset {\cup }_{\lambda }\mathrm{supp}(M_{\lambda }).$

Навпаки, якщо $𝔭\in \mathrm{Supp}(M)$, то існує $x\in M$ для якого $\mathrm{Ann}(x)$ не є підмножиною $𝔭$. Але цей елемент належить деякому $M_{\lambda }$ і тоді $𝔭\in \mathrm{Supp}(M_{\lambda })$.

• Простий ідеал $𝔭$ є елементом носія скінченнопородженого модуля $M$ тоді і тільки тоді, коли $𝔭\supset \mathrm{Ann}(M)$. Зокрема носій модуля є замкнутою множиною у топології Зариського на Spec(A).

Якщо $𝔭$ належить носію модуля, то існує такий елемент $x\in M$, що $sx\ne 0$ для всіх $s\in A\setminus 𝔭$ Але тоді $𝔭\supset \mathrm{Ann}(x)$ і необхідний результат отримується з того, що $\mathrm{Ann}(x)\supset \mathrm{Ann}(M)$.

Навпаки, якщо $m_1,\dots m_n$ — породжуюча множина модуля, то $\mathrm{Ann}(M)=\bigcap _{i=1}^n\mathrm{Ann}(m_i)$ і якщо $𝔭\supset \mathrm{Ann}(M)$ то також $𝔭\supset \mathrm{Ann}(m_i)$ для деякого $m_i$ і тому $𝔭$ належить носію модуля.

• Якщо $M$ є скінченнопородженим A-модулем і I є ідеалом у A, тоді $\mathrm{Supp}(M/IM)$ є множиною всіх простих ідеалів, що містять $I+\mathrm{Ann}(M).$ Ця множина є рівною $V(I)\cap \mathrm{Supp}(M)$.
• Якщо $𝔭\in \mathrm{Supp}(M)$ то $V(𝔭)\subset \mathrm{Supp}(M).$

Якщо $𝔭\subset 𝔮$ — прості ідеали, то з властивостей локалізації $M_{𝔭}=(M_{𝔮}{)}_{𝔭}$, тож якщо $M_{𝔭}\ne 0$, то також $M_{𝔮}\ne 0$ і тому $𝔮$ теж є елементом носія модуля.

• Нехай $0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$ — точна послідовність A-модулів. Тоді

  $\mathrm{Supp}(M)=\mathrm{Supp}(M^{\prime })\cup \mathrm{Supp}(M^{″}).$ Це об'єднання може не бути диз'юнктивним.

Згідно з властивостями локалізації, при умовах твердження послідовність $0\to M{\text{'}}_{𝔭}\to M_{𝔭}\to M^{\prime }{\text{'}}_{𝔭}\to 0$ теж буде точною. З означень точної послідовності тоді $M_{𝔭}$ буде нульовим модулем тоді і тільки тоді, коли нульовими модулями будуть як $M{\text{'}}_{𝔭}$, так і $M^{\prime }{\text{'}}_{𝔭}$. Тому $𝔭$ належатиме $\mathrm{Supp}(M)$ тоді і тільки тоді, коли він належатиме хоча б одній із множин $\mathrm{Supp}(M^{\prime })$ і $\mathrm{Supp}(M^{″})$.

• Якщо $M,N$ є скінченнопородженими A-модулями, то

  $\mathrm{Supp}(M{\otimes }_{A}N)=\mathrm{Supp}(M)\cap \mathrm{Supp}(N).$

Для довільного простого ідеалу $𝔭$ $(M{\otimes }_{A}N{)}_{𝔭}\cong M_{𝔭}{\otimes }_{A_{𝔭}}{N}_{𝔭}$. Оскільки $A_{𝔭}$ — локалне кільце, то звідси $(M{\otimes }_{A}N{)}_{𝔭}\ne 0$, тоді і тільки тоді коли $M_{𝔭}\ne 0$ і $N_{𝔭}\ne 0$, що доводить твердження.

• Нехай $M$ — скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем $A$. Тоді $𝔭\in \mathrm{Supp}(M)$ якщо і тільки якщо $𝔭\supset {𝔭}^{\prime }$, де ${𝔭}^{\prime }$ — деякий асоційований простий ідеал модуля $M$.

Оскільки кожен асоційований простий ідеал містить анулятор модуля, то якщо простий ідеал містить асоційований простий ідеал, то він містить анулятор і є елементом носія модуля.

При умовах твердження існує скінченна множина асоційованих простих ідеалів, перетин яких рівний радикалу анулятора. Якщо $𝔭$ не містить жодного з цих ідеалів, то він не містить і їх перетину і тому не містить анулятор модуля. Тоді $𝔭$ не належить носію модуля.

Носій квазікогерентного пучка

Якщо F є квазікогерентним пучком на схемі X, носій F є множиною всіх точок x∈X для яких локальні кільця F_x є ненульовими. Це означення є подібним до означення носія функції на просторі X, що і спричинило використання терміна "носій". Більшість властивостей носіїв дослівно переносяться із модулів на квазікогерентні пучки. Наприклад, носій когерентного пучка є замкнутим підпростором у X.

Якщо M є модулем над кільцем A, тоді носій M як модуля є рівним носію асоційованого квазікогерентного пучка $\tilde{M}$ на афінній схемі Spec(R). Крім того, якщо $\{U_{\alpha }=\mathrm{Spec}(A_{\alpha })\}$ є афінним покриттям схеми X, тоді носій квазікогерентного пучка F є рівним об'єднанню носіїв асоційованих модулів M_α над кожним A_α.

Приклади

• Для скінченної комутативної групи $M$, що розглядається як модуль над кільцем цілих чисел, $\mathrm{Supp}(M)$ складається з усіх простих ідеалів $(p)$, де просте число $p$ ділить порядок групи $M$.
• У випадку коли модуль не є скінченнопородженим не обов'язково кожен ідеал, що містить анулятор є елементом носія модуля. Може виконуватися строге включення $\mathrm{Supp}(M)\subset V(\mathrm{Ann}(M))$. Наприклад $A=\mathbb{Z}$, $M={\oplus }_{n\in \mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Тоді $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(M)=0$, але $M\otimes \mathbb{Q}=0$. Тому нульовий ідеал належить $V(\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(M))$ але не носію модуля $M$. Носієм є множина максимальних ідеалів кільця $\mathbb{Z}$.

Див. також

• Асоційований простий ідеал

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book