Функція помилок

Графік функції помилок.

Функція помилок або Функція помилок Гаусса — це неелементарна функція, що використовується в теорії ймовірності, статистиці, математичній фізиці і визначається як

$\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

У багатьох із цих застосувань аргументом функції є дійсне число. Якщо аргумент функції є дійсним, то значення функції також є дійсним.

У статистиці для невід'ємних значень Шаблон:Mvar функція помилок має таке трактування: для випадкової величини Шаблон:Mvar, яка має нормальний розподіл із математичним сподіванням 0 та дисперсією Шаблон:Дріб, Шаблон:Math — це ймовірність того, що Шаблон:Mvar потрапляє в інтервал Шаблон:Math.

Доповнювальна функція помилок, що позначається $\mathrm{erfc}x$ (іноді застосовується позначення $\mathrm{Erf}x$) визначається через функцію помилок:

$\mathrm{erfc}x=1-\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

Уявна функція помилок, що позначається $w(x)$, також визначається через функцію помилок:

$w(x)=e^{-x^2}\mathrm{erfc}(-ix)$.

Назва

Назва «функція помилок» та її абревіатура Шаблон:Math запропоновані Шаблон:Нп в 1871 р. через її зв'язок з «теорією ймовірності, і особливо теорією помилок». Доповнювальні функції помилок також обговорювалося Глейшером того ж року в окремій публікації. Для «закону об'єкта» помилок, щільність якого має вигляд

$f(x)={\left(\frac{c}{\pi }\right)}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-c{x}^2}$

(нормальний розподіл), Глейшер обчислював ймовірність помилки, що лежить між $p$ і $q$, як

${\left(\frac{c}{\pi }\right)}^{\frac{1}{2}}\underset{p}{\overset{q}{\int }}{\mathrm{e}}^{-c{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\mathrm{erf}\left(q\sqrt{c}\right)-\mathrm{erf}\left(p\sqrt{c}\right)).$

Застосування

Якщо результати серії вимірювань описуються нормальним розподілом із середньоквадратичним відхиленням $\sigma$ та математичним сподіванням 0, то $\mathrm{erf}\left(\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\right)$ — це ймовірність того, що похибка одного вимірювання лежить між −a та +a, при додатному a. Це корисно, наприклад, при визначенні коефіцієнта бітових помилок цифрової системи зв'язку. Функцію помилок та доповнювальну функцію помилок застосовують, наприклад, у розв'язках рівняння теплопровідності, якщо граничні умови задаються функцією Гевісайда. Функцію помилок та її наближення можна використовувати для оцінки результатів, які мають місце Шаблон:Нп або з низькою ймовірністю. Нехай задана випадкова величина $X\sim \mathrm{Norm}[\mu ,\sigma ]$ і константа $L<\mu$, тоді

$\mathrm{Pr}[X\le L]=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{L-\mu }{\sqrt{2}\sigma }\right)\approx A\exp (-B{\left(\frac{L-\mu }{\sigma }\right)}^2)$,

де A і B — деякі числові константи. Якщо L достатньо далека від математичного сподівання, тобто $\mu -L\ge \sigma \sqrt{\ln k}$, тоді

$\mathrm{Pr}[X\le L]\le A\exp (-B\ln k)=\frac{A}{k^B}$,

і ймовірність прямує до 0, якщо $k\to \mathrm{\infty }$.

Властивості

• Функція помилок непарна:

$\mathrm{erf}(-x)=-\mathrm{erf}x$.

• Для будь-якого комплексного $x$ виконується

$\mathrm{erf}\overline{x}=\overline{\mathrm{erf}x}$

де риска позначає комплексне спряження числа $x$.

• Підінтегральні функції $f=\exp (-z^2)$ та $f=\mathrm{erf}(z)$ зображено в комплексній площині z на рисунках.

Рівень $\mathrm{Im}(f)=0$ показано товстою зеленою лінією. Від'ємні цілі значення $\mathrm{Im}(f)$ показано товстими червоними лініями. Додатні цілі значення $\mathrm{Im}(f)$ показано товстими синіми лініями. Проміжні рівні $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ показано тонкими зеленими лініями. Проміжні рівні $\mathrm{Re}(f)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ показано тонкими червоними лініями для від'ємних значень і тонкими синіми лініями для додатних значень.

• Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції, але, розкладаючи інтегрований вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду:

$\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\cdots )$

Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного $x$, так і на всій комплексній площині. Послідовність знаменників утворює Шаблон:OEIS.

• Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді:

$\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(x\prod _{i=1}^n\frac{-(2i-1)x^2}{i(2i+1)}\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{2n+1}\prod _{i=1}^n\frac{-x^2}{i}$,

оскільки $\frac{-(2i-1)x^2}{i(2i+1)}$ — співмножник, що перетворює $i$-й член ряду в $(i+1)$-й, вважаючи першим членом $x$.

• Уявна функція помилок має дуже схожий ряд Маклорена, а саме

$\mathrm{erfi}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(z+\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}+\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}+\cdots )$,

для будь-якого комплексного числа z.

• Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки:

• При розгляді функції помилок в комплексній площині точка $z=\mathrm{\infty }$ буде для неї істотно особливою.

• Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-z^2}$.

Звідси похідна уявної функції помилок:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{erfi}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{z^2}$.

Первісною функції помилок, яку можна отримати за допомогою інтегрування частинами, є

$z\mathrm{erf}(z)+\frac{{\mathrm{e}}^{-z^2}}{\sqrt{\pi }}$.

Первісною уявної функції помилок, яку також можна отримати інтегруванням частинами, є

$z\mathrm{erfi}(z)-\frac{{\mathrm{e}}^{z^2}}{\sqrt{\pi }}$.

Похідні вищих порядків задаються формулами

${\mathrm{erf}}^{(k)}(z)=\frac{2(-1{)}^{k-1}}{\sqrt{\pi }}{H}_{k-1}(z){\mathrm{e}}^{-z^2}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{{\mathrm{d}}^{k-1}}{\mathrm{d}{z}^{k-1}}\left({\mathrm{e}}^{-z^2}\right),k=1,2,\dots$

де $𝐻$ — це поліноми Ерміта.

• Розклад, який збігається швидше для всіх дійсних значень $x$ ніж ряд Тейлора, отримується за допомогою теореми Шаблон:Нп:

$\begin{array}{cc}\mathrm{erf}(x)& =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\mathrm{sgn}(x)\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-x^2}}(1-\frac{1}{12}(1-{\mathrm{e}}^{-x^2})-\frac{7}{480}{(1-{\mathrm{e}}^{-x^2})}^2-\frac{5}{896}{(1-{\mathrm{e}}^{-x^2})}^3-\frac{787}{276480}{(1-{\mathrm{e}}^{-x^2})}^4-\cdots )\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\mathrm{sgn}(x)\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-x^2}}(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{\mathrm{e}}^{-k{x}^2})\end{array}$

($\mathrm{sgn}$ — це signum-функція). Зберігаючи лише перші два коефіцієнти та вибираючи $c_1=\frac{31}{200}$ та $c_2=-\frac{341}{8000}$, отримане наближення показує свою найбільшу відносну похибку при $x=\pm 1,3796$, яка менша ніж $3,6127\cdot 10^{-3}$:

$\mathrm{erf}(x)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi }}\mathrm{sgn}(x)\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-x^2}}(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\frac{31}{200}{\mathrm{e}}^{-x^2}-\frac{341}{8000}{\mathrm{e}}^{-2x^2})$.

• Обернена функція помилок є рядом

${\mathrm{erf}}^{-1}x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k}{2k+1}{\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}x\right)}^{2k+1}$,

де c₀ = 1 і

$c_k=\sum _{m=0}^{k-1}\frac{c_m{c}_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}=\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\dots \}$.

Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):

${\mathrm{erf}}^{-1}x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }(x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7{\pi }^2{x}^5}{480}+\frac{127{\pi }^3{x}^7}{40320}+\frac{4369{\pi }^4{x}^9}{5806080}+\frac{34807{\pi }^5{x}^{11}}{182476800}+\dots )$[1].

Послідовності чисельників і знаменників після скорочення — A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення — A002067 у OEIS.

При Шаблон:Math має місце співвідношення $\mathrm{erf}({\mathrm{erf}}^{-1}(z))=z$.

Обернена доповнювальна функція помилок визначається як

${\mathrm{erfc}}^{-1}(1-z)={\mathrm{erf}}^{-1}(z)$.

Для дійсного x існує єдине дійсне число ${\mathrm{erfi}}^{-1}(x)$, що $\mathrm{erfi}({\mathrm{erfi}}^{-1}(x))=x$. Обернена уявна функція помилок визначається як ${\mathrm{erfi}}^{-1}(x)$.

Для будь-якого дійсного x можна використовувати метод Ньютона для обчислення ${\mathrm{erfi}}^{-1}(x)$, а при $-1\le x\le 1$ наступний ряд Макролена є збіжним:

${\mathrm{erfi}}^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{c}_k}{2k+1}{\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}z\right)}^{2k+1}$,

де коефіцієнти c_k визначені вище.

Доповнювальна функція помилок

Асимптотичний розклад

Корисним асимптотичним розкладом доповнювальної функції помилок (а отже, і функції помилок) для великих дійсних $x$ є

$\mathrm{erfc}(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2}}{x\sqrt{\pi }}[1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^2{)}^n}]=\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2}}{x\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n-1)!!}{(2x^2{)}^n}$,

де (2n – 1)!! — подвійний факторіал числа (2n – 1), який є добутком усіх непарних чисел до (2n – 1) включно. Цей ряд розбігається для будь-якого скінченного $x$, і його зміст як асимптотичного розкладу полягає в тому, що для будь-якого $N\in \mathbb{N}$

$\mathrm{erfc}(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2}}{x\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{N-1}(-1{)}^n\frac{(2n-1)!!}{(2x^2{)}^n}+R_N(x)$,

де залишок, в позначеннях O великого,

$R_N(x)=O\left(x^{1-2N}{\mathrm{e}}^{-x^2}\right)$

при $x\to \mathrm{\infty }.$

Дійсно, точне значення залишку становить

$R_N(x)=\frac{(-1{)}^N}{\sqrt{\pi }}{2}^{1-2N}\frac{(2N)!}{N!}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{-2N}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$,

яке легко отримується за допомогою індукції з використанням формули

${\mathrm{e}}^{-t^2}=-(2t{)}^{-1}\left({\mathrm{e}}^{-t^2}\right)$

та інтегрування частинами.

Для досить великих значень $x$ потрібні лише перші кілька членів цього асимптотичного розкладу, щоб отримати гарне наближення для функції $\mathrm{erfc}(x)$ (тоді як для не надто великих значень $x$ вищенаведений ряд Тейлора у точці $0$ забезпечує більш швидку збіжність).

Розвинення в ланцюговий дріб

Представлення доповнювальної функції помилок через ланцюговий дріб має виглядЖ

$\mathrm{erfc}(z)=\frac{z}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-z^2}\frac{1}{z^2+\frac{a_1}{1+\frac{a_2}{z^2+\frac{a_3}{1+\cdots }}}}{a}_m=\frac{m}{2}.$

Інтеграл функції помилок з функцією розподілу Гаусса

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{erf}(ax+b)\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{erf}\left[\frac{a\mu +b}{\sqrt{1+2a^2{\sigma }^2}}\right],a,b,\mu ,\sigma \in ℝ$

який отриманий Нг та Геллером за допомогою зміни змінних, формула 13 у параграфі 4.3.

Факторіальний ряд

• Обернений факторіальний ряд

$\begin{array}{cc}\mathrm{erfc}z& =\frac{{\mathrm{e}}^{-z^2}}{\sqrt{\pi }z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{Q}_n}{{(z^2+1)}^{\overline{n}}}\\ & =\frac{{\mathrm{e}}^{-z^2}}{\sqrt{\pi }z}(1-\frac{1}{2}\frac{1}{(z^2+1)}+\frac{1}{4}\frac{1}{(z^2+1)(z^2+2)}-\cdots )\end{array}$

є збіжним при $\mathrm{Re}(z^2)>0$. Тут

$Q_n\stackrel{\text{def}}{=}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1/2)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1){\tau }^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-\tau }\mathrm{d}\tau =\sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\overline{k}}s(n,k),$

через $z^{\overline{n}}$ позначено зростаючий факторіал, а $s(n,k)$ — число Стірлінга першого роду

• Представлення нескінченною сумою, що містить подвійний факторіал:

$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-2{)}^n(2n-1)!!}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}$.

Споріднені функції

З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з функцією розподілу ймовірностей нормального розподілу, що позначається $\mathrm{\Phi }(x)$:

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{erf}\frac{x}{\sqrt{2}})$.

Зворотна функція до $\mathrm{\Phi }$, відома як нормальна квантильна функція, іноді позначається $\mathrm{probit}$ і виражається через нормальну функцію помилок як

$\mathrm{probit}p={\mathrm{\Phi }}^{-1}(p)=\sqrt{2},{\mathrm{erf}}^{-1}(2p-1)$.

Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком функції Міттаг-Лефлера, а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):

$\mathrm{erf}x=\frac{2x}{\sqrt{\pi }}{}_1{F}_1(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2)$.

Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризованої неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції

$\mathrm{erf}x=\mathrm{sign}xP(\frac{1}{2},x^2)=\frac{\mathrm{sign}x}{\sqrt{\pi }}\gamma (\frac{1}{2},x^2)$.

Узагальнені функції помилок

Графік узагальнених функцій помилок $E_n(x)$:
сіра лінія: $E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi }$
червона лінія: $E_2(x)=\mathrm{erf},x$
зелена лінія: $E_3(x)$
синя лінія: $E_4(x)$
жовта лінія: $E_5(x)$.

Також можна розглянути загальніші функції:

$E_n(x)=\frac{n!}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^n},\mathrm{d}t=\frac{n!}{\sqrt{\pi }}\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^p\frac{x^{np+1}(np+1)p!}{,}.$

Окремими вартими уваги випадками є:

• $E_0(x)$ — пряма лінія, що проходить через початок координат: $E_0(x)=\frac{x}{e}\sqrt{\pi }$
• $E_2(x)$ — функція помилок $\mathrm{erf},x$.

Після ділення на $n!$ всі $E_n$ з непарними $n$ виглядають схоже (але не ідентично). Всі $E_n$ з парними $n$ теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на $n!$. Всі узагальнені функції помилок з $n>0$ виглядають схоже на напівосі $x>0$.

На напівосі $x>0$ всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:

$E_n(x)=\frac{x{\left(x^n\right)}^{-1/n}\mathrm{\Gamma }(n)(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)-\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n},x^n))}{\sqrt{\pi }},x>0$

Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:

$\mathrm{erf}x=1-\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2},x^2)}{\sqrt{\pi }}$.

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як

$i^n\mathrm{erfc},z=\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{i}^{n-1},\mathrm{erfc},\zeta \mathrm{d}\zeta .$

Їх можна розкласти в ряд:

$i^n\mathrm{erfc}z=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}^j}{2^{n-j}j!\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n-j}{2})}$.

звідки випливають властивості симетрії

$i^{2m}\mathrm{erfc}(-z)=-i^{2m}\mathrm{erfc}z+\sum _{q=0}^m\frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}$

і

$i^{2m+1}\mathrm{erfc}(-z)=i^{2m+1}\mathrm{erfc}z+\sum _{q=0}^m\frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}$.

Література

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.