Правильний трикутник

Правильний трикутник
Тип	Правильний багатокутник
Властивості	Опуклий, рівносторонній
Елементи	3 ребра 3 вершини
Позначення
Символ Шлефлі	{3}
Діаграма Коксетера-Динкіна	Шаблон:ДКД або (x3o)
Група симетрії	D3, порядок 6 (Діедральна група)
Двоїстий	Самодвоїстий

Правильний трикутник (тригон від грец. τρεῖς - три та γωνία -кут) — трикутник, у якого всі сторони і кути рівні. Тому його також називають рівностороннім трикутником.

Також, правильний трикутник — геометрична фігура, правильний багатокутник з трьома сторонами.

Усі внутрішні кути правильного трикутника дорівнюють 60° (або Шаблон:Sfrac радіан).

Правильний трикутник має три ліній дзеркальної симетрії, що проходять через його висоти, і обертову симетрію 3-го порядку навколо центра О (на кути 60°, 120° і 360°), тобто група рухів (самосуміщень) площини для правильного трикутника складається з 6 елементів.

Формули

Нехай сторона правильного трикутника дорівнює $a$. Тоді:

Периметр: $P=3a$;

Висота трикутника ‒ відстань від вершини до протилежної сторони: $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a=3\cdot r=\frac{3}{2}\cdot R$;

$h=r+R$

Апофема ‒ відстань від центру до сторони: $a_p=r=\frac{1}{3}\cdot h$

Радіус вписаного кола (дотикається до всіх його сторін):

$r=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot a=\frac{1}{2}\cdot R=\frac{1}{3}\cdot h$;

Радіус описаного кола ‒ проходить через всі його вершини:

$R=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot a=2\cdot r=\frac{2}{3}\cdot h$

Радіус зовнівписаного кола ‒ дотикається до сторони та продовження двох інших сторін:

$r_a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a=3\cdot r=\frac{3}{2}\cdot R=h$

Площа правильного трикутника: $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2=3\sqrt{3}\cdot r^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot R^2=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot h^2$

Усі ці формули можна вивести з теореми Піфагора.

Властивості

• Правильний трикутник має всі властивості, притаманні правильному багатокутнику та трикутнику.
• Правильний трикутник є одночасно і рівностороннім і рівнокутним (за означенням).
• В правильному трикутнику його висоти збігаються з його медіанами та бісектрисами кутів. Висоти, медіани та бісектриси перетинаються в одній точці - центрі правильного трикутника, яка лежить на його висоті на відстані Шаблон:Sfrac h від основи, тобто точкою перетину діляться у відношенні $1:2$ від основи.
• Центри вписаного та описаного кола збігаються і лежать в центрі правильного трикутника.
• В правильному трикутнику всі чудові точки трикутника знаходяться в його геометричному центрі. Це означає, що рівносторонній трикутник є єдиним трикутником, у якого немає лінії Ейлера.
  • Трикутник є рівностороннім, якщо збігаються будь-які два з його центрів:центр описаного кола, інцентр (центр вписаного кола), центроїд або ортоцентр.Шаблон:Rp
  • Він також є рівностороннім, якщо його центр описаного кола збігається з точкою Наґеля або якщо його центр вписаного кола збігається з центром кола дев’яти точок.
• В правильному трикутнику коло дев'яти точок збігається з вписаним колом.
• Правильні трикутники є гранями для 8 опуклих багатогранників: трьох тіл Платона (правильного тетраедра, октаедра та ікосаедра), а також п'яти тіл Джонсона. Багатогранники, всі грані яких - правильні трикутники, називаються дельтаедрами.
• Також правильний трикутник є гранню для одного тіла Кеплера-Пуансо, а саме великого ікосаедра.
• Правильний трикутник ‒ один із двох правильних багатокутників, що не має зірчастої форми; інший — квадрат.

Паркет з рівносторонніх трикутників

• Правильними трикутниками можна замостити площину без проміжків та накладень. Також в усіх Шаблон:Не перекладено присутній рівносторонній трикутник .
• Правильний трикутник є першим в нескінченній родині правильних багатокутників, та третім в нескінченному сімействі n- симплексів, при n = 2.

Теореми, пов'язані з правильним трикутником

• Теорема Вівіані:

Шаблон:РамкаУ будь-якому рівносторонньому трикутнику ABC сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки трикутника до його сторін дорівнює висоті трикутника. Шаблон:/рамка

• Теорема Морлі:

Шаблон:РамкаТочки перетину суміжних трисектрис кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника. Шаблон:/рамка

• Теорема Наполеона:

Шаблон:РамкаЯкщо на кожній стороні трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника. Шаблон:/рамка

• Теорема Помпею:

Шаблон:РамкаДля довільного рівностороннього трикутника $ABC$ та довільної точки $P$ в його площині відрізки $PA$, $PB$ та $PC$ є сторонами трикутника (можливо, виродженого). Шаблон:/рамка

• Теореми Тебо 2 и 3
• Для будь-якого трикутника три медіани ділять трикутник на шість менших трикутників.
  1. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли будь-які три менших трикутника мають однаковий периметр або однаковий радіус.Шаблон:Rp
  2. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли центри описаного кола будь-яких трьох менших трикутників знаходяться на однаковій відстані від центроїда.Шаблон:Rp
• На плошині дано трикутник і довільну точку P.

$p$, $q$ , $r$ ‒ відстані від точки P до сторін трикутника; $x$, $y$ , $z$ ‒ відстані від точки P до вершин трикутника.

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли для кожної точки P площини виконується нерівність: Шаблон:Rp$$4(p^2+q^2+r^2)\ge x^2+y^2+z^2.$$

Геометрична побудова

Креслення рівнобічного трикутника за допомогою циркуля та лінійки.

Рівносторонній трикутник можна накреслити за допомогою циркуля та лінійки. Для цього необхідно виконати такі дії:

1. Провести пряму та поставити на неї циркуль гострим кінцем;
2. Провести коло;
3. Поставити циркуль в одну із точок перетину кола та прямої, провести ще одне коло такого ж радіусу;
4. З'єднати прямими центри кіл та точку перетину цих кіл.

Альтернативний спосіб:

1. Накреслити коло довільного радіусу;
2. Поставити циркуль на це коло і накреслити ще одне коло такого ж радіусу;
3. Ці два кола перетинаються в двох точках, кожна з точок перетину разом із центрами кіл утворюють правильні трикутники.

Див. також

• Задача про голку
• Правильний многокутник
• Трикутник
• Трикутні числа
• Трикутний паркет

Джерела

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — К.: Генеза, 2005. —120 с.: іл. — ISBN 966-504491-1
• Рівносторонній трикутник: означення, властивості, приклади

Посилання

• Politope Wiki. Triangle
• Weisstein, Eric W.Triangle. MathWorld.