Теорема Наполеона

Зовнішній трикутник Наполеона

Внутрішній трикутник Наполеона

Теорема Наполеона — теорема в геометрії трикутника, яка стверджує, що:

Правильний трикутник, отриманий таким чином, називається трикутником Наполеона (зовнішнім чи внутрішнім).

Різниця площ внутрішнього та зовнішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.

Теорему часто приписують Наполеону Бонапа́рту (1769—1821), хоча вона також згадувалася у публікації В. Рутерфорда Шаблон:Iw (1825) через чотири роки після смерті імператора.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Доведення

Теорема Наполеона доведення

Так як на сторонах трикутника △ABC побудовані рівносторонні трикутники, то їх внутрішні кути дорівнюють 60°, а

$\frac{|KB|}{|AB|}=\frac{|BM|}{|BC|}=\frac{|AL|}{|AC|}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Отже, $\sphericalangle KBM=\sphericalangle ABY.$

Оскільки $\frac{|KB|}{|AB|}=\frac{|BM|}{|BC|},$

то $\mathrm{△}BKM$ та $\mathrm{△}BAY$ є подібними. З подібності трикутників, маємо:

$|KM|=|AY|\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Аналогічно показуємо, що $\mathrm{△}CLM$ та $\mathrm{△}CAY$ також подібні, і $|LM|=|AY|\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Отже, $|KM|=|LM|.$ Аналогічно доводиться, що $|LM|=|LK|,$ значить $\mathrm{△}KLM$ рівносторонній.

Існує багато інших способів доведення цієї теореми, в тому числі синтетичний метод (безкоординатний)Шаблон:Sfn, тригонометричний, способи з використанням симетрії та комплексних чисел.

Трикутники Наполеона

Нехай a, b, та c сторони початкового трикутника, а S — його площа. Тоді:

Площа внутрішнього трикутника Наполеона:

$\text{Sвнутр}=\frac{\sqrt{3}}{24}(a^2+b^2+c^2)-\frac{S}{2}\ge 0,$

Рівність досягається лише у випадку, коли початковий трикутник правильний.

Площа зовнішнього трикутника Наполеона

$\text{Sзовн}=\frac{\sqrt{3}}{24}(a^2+b^2+c^2)+\frac{S}{2},$

Аналітично можна показати, що кожна з трьох сторін зовнішнього трикутника Наполеона має довжину

$\text{Aзовн}=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2\sqrt{3}}}.$

З цих рівностей видно, що різниця площ зовнішнього та внутрішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.

Узагальнення

Для трикутників

• Рівносторонні трикутники утворюються не лише центрами правильних трикутників, побудованих зовнішнім чином на сторонах довільного трикутника. Також рівносторонні трикутники утворюються будь-якими відповідними точками цих трикутників.Шаблон:Sfn

Узагальнення на випадок подібних трикутників

• Теорема Наполеона має гарне узагальнення на випадок подібних трикутників побудованих зовнішнім чиномШаблон:Sfn:

Для чотирикутників

Аналогом теореми Наполеона для паралелограма є перша теорема Тебо, яка узагальнюється до теореми ван Обеля для довільного чотирикутника, яка в свою чергу є частинним випадком Шаблон:Не перекладено.

Для багатокутників

Теорема Наполеона може бути узагальнена на випадок багатокутників.

Теорема Наполеона-БарлоттіШаблон:Sfn:

Центри правильних n-кутників, побудованих над сторонами n-кутника P, утворюють правильний n-кутник тоді і тільки тоді, коли P є афінним образом правильного n-кутника.

Афінно-правильний n-кутник — це багатокутник, в якому паралельні один одному ті ж сторони та діагоналі, ніби він був би правильним.

Наприклад, для чотирикутника — це паралелограм, а для п'ятикутника — такий п'ятикутник, у якому кожна діагональ паралельна відповідній (протилежній) стороні.

• 
  Napoleon barlotti.svg Приклад п'ятикутника
• 
  Napoleon barlotti2.svg Приклад семикутника
• 
  Napoleon barlotti3.svg Приклад одинадцятикутника

Теорему Петра–Дугласа–Неймана у застосуванні до п'ятикутника. П'ятикутник A₀ дорівнює ABCDE. A₁ (= FGHIJ) будується з кутом при вершині 72°, A₂ (= KLMNO) з кутом при вершині 144° і A₃ (= PQRST) з кутом при вершині 216°.

Теорема Петра -Дугласа-Неймана

Шаблон:Не перекладено стверджує, що:

Якщо на бічних сторонах довільного n-кутника $A_0$ побудувати рівнобедрені трикутники з кутами при вершинах $\frac{2k\pi }{n}$, і цей процес повторити з n-кутником, утвореним вільними вершинами трикутників, але з іншим значенням k, і так далі, поки не будуть використані всі значення $1\le k\le n-2$ (у довільному порядку), тоді формується правильний n-кутник A_n-2, центроїд якого збігається з центроїдом $A_0$.

Ще одна варіація Теореми Наполеона

Див. також

• Шаблон:Li
• Теорема Тебо
• Точки Наполеона

Джерела

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Cite journal

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Iw, Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs, cut-the-knot.org (англ.)
• Теорема Наполеона на MathPages
• Теорема та узагальнення
• Побудова
• Теорема Наполеона by Jay Warendorff, Шаблон:Li.