Теорема Морлі

Трикутник Морлея

Теорема Морлі про трисектриси трикутника — одна з найдивовижніших теорем геометрії трикутника.

Теорема стверджує:Шаблон:Теорема

На рисунку праворуч три різнокольорових кута при кожній вершині великого трикутника рівні між собою. Теорема стверджує, що незалежно від вибору великого трикутника, маленький фіолетовий трикутник буде рівностороннім.

Теорема Морлі не виконується в сферичній і гіперболічній геометрії.

Терема Морлі для трисектрис зовнішніх кутів трикутника

Теорема Морлі для трисектрис зовнішніх кутів трикутника

Теорема також справедлива для зовнішніх кутів трикутника:Шаблон:Sfn Шаблон:Теорема

Крім того продовження трисектрис внутрішніх кутів також перетинаються з суміжними трисектрисами зовнішніх кутів у вершинах цих трикутників.

Історія

Теорема була відкрита в 1904 Шаблон:Нп. Тоді він розповів про неї друзям з Кембриджського університету, а опублікував її в 1924 році, коли він був у Японії.. За цей час вона була незалежно опублікована як задача в часописі «Educational Times».

Доведення

Існує багато способів доведення теореми Морлі, деякі з яких дуже технічні.

Кілька ранніх доведень ґрунтувалися на тригонометричних розрахунках. До одних з крайніх доведень теореми належать алгебричне доведення Алена Конна (1998, 2004), яке поширює теорему на загальні поля, окрім тих що мають характеристику три, і доведення Джона Конвея, що спирається на елементарну геометрію . Останній починається з рівностороннього трикутника і показує, що навколо нього можна побудувати трикутник, подібний до будь-якого обраного трикутника.

Трикутники Морлі

Теорема Морлі містить 18 спеціальних трикутників (рівносторонніх і різносторонніх), які виникають при перетині трисектрис трикутника.

Правильний трикутник, описаний вище в теоремі про трисектриси внутрішніх кутів, називається першим трикутником Морлі, і має довжину сторони:

$a^{\prime }=8R\sin (A/3)\sin (B/3)\sin (C/3),$

та площу:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a{\text{'}}^2=16\sqrt{3}{R}^2{\sin }^2(A/3){\sin }^2(B/3){\sin }^2(C/3).$

де R — радіус описаного кола початкового трикутника, а A, B та C — його внутрішні кути.

З першим трикутником Морлі також пов'язані дві чудові точки трикутника — перша та друга Шаблон:Не перекладено, які в Енциклопедії центрів трикутника ETC Кларка Кімберлінга мають номери X(356) та X(357).

Див. також

• Трисекція кута — задача про побудову трисектрис кута за допомогою циркуля та лінійки
• Трисектриса

Джерела

1. Шаблон:Стаття
2. Шаблон:Cite book
3. Шаблон:Стаття
4. Шаблон:Стаття

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Morley's Trisection Theorem на MathPages