Теорема Помпею
Теорема Помпе́ю — теорема в планіметрії, відкрита румунським математиком Дімітріе Помпею.
Теорема стверджує, що: Шаблон:Рамка Для довільного рівностороннього трикутника та довільної точки в його площині відрізки , та є сторонами трикутника (можливо, виродженого).[1][2] Шаблон:/рамка
Помпею опублікував теорему в 1936 році; однак Август Фердинанд Мебіус уже опублікував більш загальну теорему про чотири точки на евклідовій площині в 1852 році. У цій статті Мебіус також вивів твердження теореми Помпею явно як окремий випадок його більш загальної теореми. З цієї причини ця теорема також відома як теорема Мебіуса—Помпею.[3]
Доведення
Розглянемо поворот на 60° навколо точки C. Припустимо, що A переходить у B, а P переходить у P '. Тоді маємо , . Звідси трикутник PCP ' рівносторонній, тому . З рівності трикутників очевидно, що . Тому трикутник PBP ' має сторони, рівні PA, PB, PC, що й завершує доведення теореми.[1]
Додатково, якщо P розташована на описаному колі трикутника, то PA, PB і PC утворюють вироджений трикутник.
Також теорема є прямим наслідком нерівності Птолемея.
Виноски
Посилання
- ↑ 1,0 1,1 Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117
- ↑ Titu Andreescu, Razvan Gelca: Mathematical Olympiad Challenges. Springer, 2008, Шаблон:ISBN, pp. 4-5
- ↑ D. MITRINOVIĆ, J. PEČARIĆ, J., V. VOLENEC: History, Variations and Generalizations of the Möbius-Neuberg theorem and the Möbius-Ponpeiu. Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie, 31 (79), no. 1, 1987, pp. 25–38 (JSTOR)