Осциляції Зенера — Блоха

Осциляції Зенера — Блоха — коливання частинки, що рухається в періодичному потенціалі, під дією постійної сили. Прикладом системи, в якій можуть реалізуватися такі коливання, є кристалічне тверде тіло. В реальних кристалах створити умови для спостереження осциляцій Зенера-Блоха важко, однак вони спостерігалися в штучних системах — надґратках.

Кларенс Зенер розглянув такі коливання для електронів кристалу в зовнішньому електричному полі. Фелікс Блох узагальнив теорію на випадок будь-яких частинок та будь-яких сил.

Напівкласична теорія

Якщо знехтувати міжзонними переходами електронів в присутності зовнішнього електричного поля $𝐄$, то зміна квазі-імпульсу електрона $𝐤$ визначається другим законом Ньютона:

$\hslash \frac{d𝐤}{dt}=-e𝐄$,

де $e$ — елементарний електричний заряд. У відсутності зіткнень електрон проходить по всій зоні Брілюена, відбивається від її границі, знову пересікає зону, і знову відбивається на границі. Таким чином, незбурений рух електрона в зоні під дією постійного поля має характер осциляцій у $𝐤$- просторі, і, як наслідок, у звичайному просторі.

Нехай поле $𝐄$ направлене вздовж вектора оберненої ґратки $𝐊$, який визначає положення границі зони Брілюена, що відбиває електрони. За одну осциляцію електрон проходить відстань $K$. Якщо $K=\frac{2\pi }{a}$, де $a$ — період елементарної комірки, то циклічна частота коливань дорівнює:

${\omega }_z=\frac{eEa}{\hslash }$.

Оскільки $a\approx 3\AA$ , для поля $2\cdot 10^5$ В/см² частота становить близько 10⁻¹³ Гц. Осциляції обмежені в просторі, а центр осциляцій знаходиться в певній комірці. В такій ситуації потенціал збурення $e𝐄𝐫$ видозмінює енергетичні рівні в зоні. І виникають стани, енергія яких відрізняється на величину $eEa$, виникає східцева зміна енергії вздовж країв зони. Рівні енергії створюють т. з. штарківську драбину, названу так, оскільки її виникнення нагадує ефект Штарка в атомній фізиці. Ясно, що амплітуда $L_z$, просторових осциляцій визначається шириною зони $W_b$:

$L_z=\frac{W_b}{2eE}$

Оскільки на елементарну комірку приходиться один стан, то загальна кількість осциляцій залишається незмінною, проте інтервали між сусідніми рівнями енергії залишаються скінченними і однаковими.

Квантова теорія

Хвильова функція електрона в стані Зенера — Блоха, очевидно, відрізняється від плоскої хвилі, оскільки $𝐤$ вже не є хорошим квантовим числом. Розглядаючи прикладений потенціал, як збурення:

$(H_0^{*}-e𝐄\cdot 𝐫){\psi }_z=E_z{\psi }_z$,-

${\psi }_z=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum _{𝐤}^{\propto }{c}_k{\varphi }_k(𝐫)$,

де ${\psi }_k(𝐫)$ — зонні функції Блоха. Теорія збурень дає

$c_{k^{\prime }}=\sum _{𝐤}^{\propto }\frac{c_k⟨{𝐤}^{\prime }|-eE𝐫|𝐤⟩}{W_z-W_{k^{\prime }}}$

Матричний елемент зручніше всього обчислювати, враховуючи

$𝐫\exp (i𝐤𝐫)=-i{\mathrm{\Delta }}_k\exp (i𝐤𝐫)$

Переходячи від сумування по $𝐤$ до інтегрування за допомогою співвідношення

$\sum _{𝐤}^{\propto }\to \underset{}{\overset{}{\int }}\frac{V}{8{\pi }^3}d𝐤𝐤$,

та інтегруючи частинами, використовуючи властивість ортогональності плоских хвиль:

$\sum _{𝐤}^{\propto }{c}_k⟨{𝐤}^{\prime }|-e𝐄𝐫|𝐤⟩=-e𝐄{\mathrm{\Delta }}_k{c}_k{\delta }_{k{k}^{\prime }}$

звідки похідні

$\frac{d{c}_k}{d𝐤}=\frac{i(W_z-W_k)c_k}{eE}$,

а також

$c_k=c_0\exp \left\{\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{i(W_z-W_k)}{eE}d𝐤\right\}$

Для того, щоб періодичність хвильової функції зберігалась, функція $c_k$ повинна бути періодичною. Якщо покласти

$W_k=W_0+W(𝐤),$

де $W_k=W_0$ — енергія центра зони, то із умови періодичності витікає рівність енергій

$W_z-W_0=e𝐄n^{\prime }(𝐚),$,

де $n^{\prime }$ — ціле число, а $𝐚$ — вектор елементарної комірки. Таким чином, стан, якому відповідає власне значення $W_z$, локалізований у просторі біля елементарної комірки, розташованої в точці $n^{\prime }𝐚$, звідки покладаючи $n^{\prime }𝐚=𝐫$

$c_k=c_0\exp \{-i(𝐤{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{i{W}_k}{eE}d𝐤\left)\right\}$

Хвильові функції Блоха тут будуть

${\psi }_z=V^{-1/2}{c}_0\sum _{𝐤}^{\propto }{u}_k(𝐫)\exp \{i\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{W(𝐤)}{eE}d𝐤-i𝐤({𝐫}_{\mathrm{𝟎}}\mathbf{-}𝐫)\}.$

Тепер можна використати просту модель, яка описує зону в напрямі поля $𝐄$:

$W𝐤=-\frac{W_b}{2}\cos ka$,

$-\frac{\pi }{a}<k<\frac{\pi }{a},$,

де $W_b$- ширина зони. Далі припускаємо, що функція $u_k(𝐫)$ не залежить від $𝐤$. Тоді

${\psi }_z=V^{-1/2}{c}_{0}u(𝐫)\sum _{𝐤}^{\propto }\exp \{-\frac{i{W}_b\sin ka}{2eEa}-i𝐤{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}\mathbf{-}𝐫\}=$

$=c_{0}u(𝐫)J_n(\frac{W_b}{2eEa}),n=(x_0-x)/a,$

де $J_n(z)$ — функція Бесселя, $n$ — ціле число, а поле направлене вздовж осі $x$. Біля точки $x=x_0$ функція $J_n(z)$ веде себе подібно до стоячої хвилі із хвильовим вектором величини $\pi /2a$, тобто довжина хвильового вектора рівна половині відстані від центру зони Брілюена до її границі. Коли $|x_0-x|\gg a$, асимптотичний розклад дає

$J_n\left(\frac{W_b}{2eEa}\right)\approx \frac{(-1{)}^{|x_0-x|/a}}{(2\pi |x_0-x|/a{)}^{1/2}}{\left(\frac{e_n{L}_z}{2|x_0-x|}\right)}^{|x_0-x|/a}$

де $L_z$ — класична амплітуда просторових осциляцій, а $e_n$ — основа натуральних логарифмів. Ясно, що при $|x_0-x|>e_n{L}_z/2$ хвильова функція дуже швидко затухає. Вона зменшується і при $|x_0-x|\to 0$, досягаючи максимуму при $|x_0-x|=L_z/2$. Поведінка цієї хвильової функції якісно схожа на поведінку гармонічного осцилятора — вона зростає біля кінців відрізка, які відповідають класичним точкам повороту. Для того, щоб спостерігати це явище необхідно задовольнити умови

${\omega }_z\tau >1,$

де $\tau$ — час між зіткненнями. Як правило розрахунок часу $\tau$ проводять для станів, близьких до країв зони. Типові значення для $\tau$ близько $10^{-13}$. Таким чином, електрон що здійснює коливання Зенера — Блоха, більшу частину часу перебуває біля країв зони, і тому розумно прийняти оцінку часу близько 10⁻¹³ c. Для цього необхідно створити поля більші за 2·10⁵ В/см. В багатьох випадках таке сильне поле може привести до пробою напівпровідника.

Література

• Шаблон:Книга
• Zener C. -Proc.Roy.Soc. A, 1934,v.145,p.523.

Див. також

• Рівні Ландау
• Квантовий осцилятор
• Осциляції Блоха