Полярний розклад матриці

Квадратна матриця $A$ з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

$A=PU=U{P}_1,$

де

$P,P_1$ — невід'ємноозначені матриці,

$U$ — унітарна матриця.

Матриця $A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли $P,U$ будуть переставними (що рівнозначно до $P=P_1$).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

$A=W\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$

Знаходження модуля

Оскільки:

$A{A}^{*}=PU{U}^{*}P=P^2$

$A^{*}A=P_{1}U{U}^{*}{P}_1=P_1^2$

матриці $P,P_1$ однозначно визначаються як:

$P=\sqrt{A{A}^{*}}=W\mathrm{\Sigma }{W}^{*}$

$P_1=\sqrt{A^{*}A}=V\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$

Якщо матриця $A$ — нормальна, то $A^{*}A=A{A}^{*}$ за визначенням.

Знаходження повороту

Використавши $U=P^{-1}A$ отримаємо $U=W{V}^{*}.$

Використавши $U=A{P}_1^{-1}$ знову ж отримаємо $U=W{V}^{*}.$

Полярний розклад нормальної матриці

Якщо матриця $A$ — нормальна, тоді матриці $P,U,\mathrm{\Sigma }$ — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:

$\mathrm{\exists }Q,\mathrm{\Sigma },\mathrm{\Phi }:Q\mathrm{\Sigma }{Q}^{*}=P,Q\mathrm{\Phi }{Q}^{*}=U,$

де

$Q$ — унітарна матриця,

$\mathrm{\Sigma }$ — невід'ємноозначена діагональна матриця,

$\mathrm{\Phi }$ — унітарна діагональна матриця.

Тоді

$A=(Q\mathrm{\Sigma }{Q}^{*})(Q\mathrm{\Phi }{Q}^{*})=Q(\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Phi })Q^{*}$ — власний розклад матриці.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра