Метрика Райснера–Нордстрема

Метрика Райснера — Нордстрема — статичний розв'язком рівнянь поля Ейнштейна–Максвелла, що відповідає гравітаційному полю зарядженого, не обертового, сферично-симетричного тіла масою M. Аналогічний розв'язок для зарядженого тіла, що обертається, дається метрикою Керра–Ньюмена.

Метрика була відкрита між 1916 і 1921 роками незалежно один від одного її відкрили Ганс Райснер, Герман Вейль, Шаблон:Iw і Шаблон:Iw.

Метрика

У сферичних координатах $(t,r,\theta ,\phi )$, метрика Райснера — Нордстрема дається виразом $d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2=(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}+\frac{r_{\mathrm{Q}}^2}{r^2})c^{2}d{t}^2-{(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2})}^{-1}d{r}^2-r^{2}d{\theta }^2-r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2,$ де $c$ це швидкість світла, $\tau$ — власний час, $t$ — координата часу (вимірюється стаціонарним годинником на нескінченності), $r$ — радіальна координата, $(\theta ,\phi )$ — сферичні кути, $r_{\text{s}}$ — радіус Шварцшильда тіла, заданий як $r_{\text{s}}=\frac{2GM}{c^2},$ а $r_Q$ — інший характерний масштаб довжини, заданий формулою $r_Q^2=\frac{Q^{2}G}{4\pi {\epsilon }_0{c}^4}.$ Тут ${\epsilon }_0$ — електрична стала.

Загальна маса центрального тіла та його незвідна маса $M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}$ пов'язані співвідношенням $M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}=\frac{c^2}{G}\sqrt{\frac{r_{+}^2}{2}}\to M=\frac{Q^2}{16\pi {\epsilon }_{0}G{M}_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}+M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}.$

Різниця між $M$ і $M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}$ обумовлена внеском у загальну масу від енергії електричного поля (див. також еквівалентність маси та енергії).

В граничному випадку, коли заряд $Q$ (або, що еквівалентно, шкала довжини $r_Q$) прямує до нуля, метрика Райснера — Нордстрема переходить у метрику Шварцшильда. Класична ньютонівська теорія гравітації реалізується у випадку, коли відношення $r_{\text{s}}/r$ прямує до нуля. А у випадку, коли і $r_Q/r$, і $r_{\text{s}}/r$ обидва прямують до нуля, метрика стає метрикою Мінковського для спеціальної теорії відносності.

Заряджені чорні діри

Хоча заряджені чорні діри з r_Q ≪ r_s подібні до чорної діри Шварцшильда, вони мають два горизонти: горизонт подій і внутрішній горизонт Коші. Як і у випадку з метрикою Шварцшильда, горизонти подій для простору-часу розташовані там, де компонент метрики $g_{rr}$ розходиться; тобто де

$$1-\frac{r_{\mathrm{s}}}{r}+\frac{r_{\mathrm{Q}}^2}{r^2}=-\frac{1}{g_{rr}}=0.$$

Це рівняння має два розв'язки:

$$r_{\pm }=\frac{1}{2}(r_{\mathrm{s}}\pm \sqrt{r_{\mathrm{s}}^2-4r_{\mathrm{Q}}^2}).$$

Ці концентричні горизонти подій стають виродженими для 2r_Q = r_s, що відповідає Шаблон:Iw. Чорні діри з 2r_Q > r_s не можуть існувати в природі, оскільки для них не може бути фізичного горизонту подій (член під квадратним коренем стає від'ємним). У природі можуть існувати об'єкти із зарядом, що перевищує їхню масу (у безрозмірних природних одиницях G = M = c = K = 1), але вони не можуть колапсувати до чорної діри, а якби могли, вони б мали голу сингулярність. Суперсиметричні теорії зазвичай гарантують, що такі «суперекстремальні» чорні діри не можуть існувати.

Електромагнітний потенціал має вигляд

$$A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).$$

Гравітаційне уповільнення часу

Гравітаційне уповільнення часу в околицях центрального тіла визначається як $$\gamma =\sqrt{|g^{tt}|}=\sqrt{\frac{r^2}{Q^2+(r-2M)r}},$$

що дозволяє розрахувати локальною радіальну швидкість вильоту нейтральної частинки $$v_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}}=\frac{\sqrt{{\gamma }^2-1}}{\gamma }.$$

Символи Крістофеля

Символи Крістофеля $${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i=\sum _{s=0}^3\frac{g^{is}}{2}(\frac{\partial g_{js}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{sk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^s})$$ з індексами $$\{0,1,2,3\}\to \{t,r,\theta ,\phi \}$$ мають ненульові компоненти $$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{tr}^t& =\frac{Mr-Q^2}{r(Q^2+r^2-2Mr)}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{tt}^r& =\frac{(Mr-Q^2)(r^2-2Mr+Q^2)}{r^5}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{rr}^r& =-\frac{Q^2-Mr}{r(Q^2-2Mr+r^2)}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\theta \theta }^r& =-\frac{r^2-2Mr+Q^2}{r}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\phi \phi }^r& =-\frac{{\sin }^2\theta (r^2-2Mr+Q^2)}{r}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\theta r}^{\theta }& =\frac{1}{r}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\phi \phi }^{\theta }& =-\sin \theta \cos \theta \\ {\mathrm{\Gamma }}_{\phi r}^{\phi }& =\frac{1}{r}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\phi \theta }^{\phi }& =\cot \theta \end{array}$$

Враховуючи символи Крістоффеля, можна обчислити геодезичні пробної частинки.

Тетрадна форма

Замість того, щоб працювати в голономному базисі, можна виконувати ефективні обчислення за допомогою Шаблон:Iw. Нехай ${𝐞}_I=e_{\mu I}$ буде набором один-форм із внутрішнім індексом Мінковського $I\in \{0,1,2,3\}$, так що ${\eta }^{IJ}{e}_{\mu I}{e}_{\nu J}=g_{\mu \nu }$. Метрику Райснера можна описати за допомогою тетради

${𝐞}_0=G^{1/2}dt$ ,

${𝐞}_1=G^{-1/2}dr$ ,

${𝐞}_2=rd\theta$

${𝐞}_3=r\sin \theta d\phi$

де $G(r)=1-r_s{r}^{-1}+r_Q^2{r}^{-2}$. Паралельне перенесення тетради виражається Шаблон:Iw ${\mathit{\omega }}_{IJ}=-{\mathit{\omega }}_{JI}={\omega }_{\mu IJ}=e_I^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{e}_{J\nu }$. Ці формули мають лише 24 незалежні компоненти порівняно з 40 компонентами ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$. Зв'язки можна визначити шляхом аналізу рівняння Картана $d{𝐞}_I={𝐞}^J\wedge {\mathit{\omega }}_{IJ}$, де ліва частина — зовнішня похідна тетради, а права — зовнішній добуток.

${\mathit{\omega }}_{10}=\frac{1}{2}{\partial }_{r}Gdt$

${\mathit{\omega }}_{20}={\mathit{\omega }}_{30}=0$

${\mathit{\omega }}_{21}=-G^{1/2}d\theta$

${\mathit{\omega }}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\phi$

${\mathit{\omega }}_{32}=-\cos \theta d\phi$

Тензор Рімана ${𝐑}_{IJ}=R_{\mu \nu IJ}$ можна побудувати як сукупність два-форм за допомогою другого рівняння Картана ${𝐑}_{IJ}=d{\mathit{\omega }}_{IJ}+{\mathit{\omega }}_{IK}\wedge {\mathit{\omega }}^K{}_J,$ що знову ж таки використовує зовнішню похідну та зовнішній добуток. Цей підхід значно швидший, ніж традиційне обчислення через ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$; зауважте, що є лише чотири ненульових значення ${\mathit{\omega }}_{IJ}$ проти дев'яти ненульових компонент ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$.

Рівняння руху

Через сферичну симетрію метрики систему координат завжди можна орієнтувати таким чином, що рух пробної частинки відбувався в даній площині, тому для стислості та без обмеження загальності ми використовуємо θ замість φ. У безрозмірних природних одиницях G = M = c = K = 1 рух електрично зарядженої частинки із зарядом q задається формулою $${\ddot{x}}^i=-\sum _{j=0}^3\sum _{k=0}^3{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{\dot{x}}^j{\dot{x}}^k+q{F}^{ik}{\dot{x}}_k$$що дає $$\ddot{t}=\frac{2(Q^2-Mr)}{r(r^2-2Mr+Q^2)}\dot{r}\dot{t}+\frac{qQ}{(r^2-2mr+Q^2)}\dot{r}$$$$\ddot{r}=\frac{(r^2-2Mr+Q^2)(Q^2-Mr){\dot{t}}^2}{r^5}+\frac{(Mr-Q^2){\dot{r}}^2}{r(r^2-2Mr+Q^2)}+\frac{(r^2-2Mr+Q^2){\dot{\theta }}^2}{r}+\frac{qQ(r^2-2mr+Q^2)}{r^4}\dot{t}$$$$\ddot{\theta }=-\frac{2\dot{\theta }\dot{r}}{r}.$$

Усі повні похідні взяті за власним часом, $\dot{a}=\frac{da}{d\tau }$.

Константи руху задаються розв'язками $S(t,\dot{t},r,\dot{r},\theta ,\dot{\theta },\phi ,\dot{\phi })$ рівняння в частинних похідних $$0=\dot{t}\frac{\partial S}{\partial t}+\dot{r}\frac{\partial S}{\partial r}+\dot{\theta }\frac{\partial S}{\partial \theta }+\ddot{t}\frac{\partial S}{\partial \dot{t}}+\ddot{r}\frac{\partial S}{\partial \dot{r}}+\ddot{\theta }\frac{\partial S}{\partial \dot{\theta }}$$після заміни других похідних, наведених вище. Сама метрика є розв'язком, якщо її записати як диференціальне рівняння $$S_1=1=(1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_{\mathrm{Q}}^2}{r^2})c^2{\dot{t}}^2-{(1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2})}^{-1}{\dot{r}}^2-r^2{\dot{\theta }}^2.$$

Рівняння з відокремлюваними змінними$$\frac{\partial S}{\partial r}-\frac{2}{r}\dot{\theta }\frac{\partial S}{\partial \dot{\theta }}=0$$негайно дає сталий релятивістський питомий кутовий момент $$S_2=L=r^2\dot{\theta };$$Третя константа інтегрування, отримана з рівняння$$\frac{\partial S}{\partial r}-\frac{2(Mr-Q^2)}{r(r^2-2Mr+Q^2)}\dot{t}\frac{\partial S}{\partial \dot{t}}=0$$є питомою енергією (енергією на одиницю маси спокою) $$S_3=E=\frac{\dot{t}(r^2-2Mr+Q^2)}{r^2}+\frac{qQ}{r}.$$

Підставляючи $S_2$ і $S_3$ в $S_1$, отримуємо радіальне рівняння $$c\int d\tau =\int \frac{r^{2}dr}{\sqrt{r^4(E-1)+2M{r}^3-(Q^2+L^2)r^2+2M{L}^{2}r-Q^2{L}^2}}.$$

Множення під знаком інтеграла на $S_2$ дає рівняння орбіти $$c\int L{r}^{2}d\theta =\int \frac{Ldr}{\sqrt{r^4(E-1)+2M{r}^3-(Q^2+L^2)r^2+2M{L}^{2}r-Q^2{L}^2}}.$$

Загальне уповільнення часу між пробною частинкою та спостерігачем на нескінченності становить $$\gamma =\frac{qQ{r}^3+E{r}^4}{r^2(r^2-2r+Q^2)}.$$

Перші похідні ${\dot{x}}^i$ і контраваріантні компоненти локальної 3-швидкості $v^i$ пов'язані між собою формулою $${\dot{x}}^i=\frac{v^i}{\sqrt{(1-v^2)|g_{ii}|}},$$що дає початкові умови $$\dot{r}=\frac{v_{\parallel }\sqrt{r^2-2M+Q^2}}{r\sqrt{(1-v^2)}}$$$$\dot{\theta }=\frac{v_{\perp }}{r\sqrt{(1-v^2)}}.$$

Питома орбітальна енергія $$E=\frac{\sqrt{Q^2-2rM+r^2}}{r\sqrt{1-v^2}}+\frac{qQ}{r}$$і питомий відносний кутовий момент $$L=\frac{v_{\perp }r}{\sqrt{1-v^2}}$$пробної частинки є інтегралами руху. $v_{\parallel }$ і $v_{\perp }$ — радіальна та поперечна складові локального вектора швидкості. Тому локальна швидкість дорівнює $$v=\sqrt{v_{\perp }^2+v_{\parallel }^2}=\sqrt{\frac{(E^2-1)r^2-Q^2-r^2+2rM}{E^2{r}^2}}.$$

Альтернативне формулювання метрики

Метрику можна виразити у Шаблон:Iw наступним чином: $$\begin{array}{cc}{g}_{\mu \nu }& ={\eta }_{\mu \nu }+f{k}_{\mu }{k}_{\nu }\\ f& =\frac{G}{r^2}[2Mr-Q^2]\\ 𝐤& =(k_x,k_y,k_z)=(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r})\\ k_0& =1.\end{array}$$

Зауважте, що k є одиничним вектором. Тут M — стала маса об'єкта, Q — сталий заряд об'єкта, а η — тензор Мінковського.

Квантово-гравітаційні поправки до метрики

У деяких підходах до квантової гравітації до класичної метрики Райснера–Нордстрема додають квантові поправки. Прикладом цього є підхід до теорії ефективного поля, започаткований Барвінським і Вілковіським. У другому порядку кривини класична дія Ейнштейна-Гільберта доповнюється локальними та нелокальними членами:

$\mathrm{\Gamma }=\int d^{4}x\sqrt{-g}(\frac{R}{16\pi G_N}+c_1(\mu )R^2+c_2(\mu )R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+c_3(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\mu \nu \rho \sigma })-\int d^{4}x\sqrt{-g}[\alpha R\ln \left(\frac{◻}{{\mu }^2}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left(\frac{◻}{{\mu }^2}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left(\frac{◻}{{\mu }^2}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }],$

де $\mu$ є енергетичною шкалою. (Тут $R_{\mu \nu \rho \sigma }$ скорочується з $R^{\mu \nu \rho \sigma }$, а скорочується з $R^{\mu \nu }$.) Точні значення коефіцієнтів $c_1,c_2,c_3$ невідомі, оскільки вони залежать від природи ультрафіолетової теорії квантової гравітації. З іншого боку, коефіцієнти $\alpha ,\beta ,\gamma$ піддаються обчисленню. Оператор $\ln (◻/{\mu }^2)$ має інтегральне представлення

$\ln \left(\frac{◻}{{\mu }^2}\right)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}ds(\frac{1}{{\mu }^2+s}-\frac{1}{◻+s}).$

Нові додаткові члени в дії передбачають модифікацію класичного рішення. Скоригована квантовими ефектами метрика Райснера–Нордстрема до членів порядку $𝒪(G^2)$ була знайдена Кампосом Дельгадо:

$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{1}{g(r)}d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2,$

де

$f(r)=1-\frac{2GM}{r}+\frac{G{Q}^2}{r^2}-\frac{32\pi G^2{Q}^2}{r^4}[c_2+4c_3+2(\beta +4\gamma )(\ln \left(\mu r\right)+{\gamma }_E-\frac{3}{2})],$

$g(r)=1-\frac{2GM}{r}+\frac{G{Q}^2}{r^2}-\frac{64\pi G^2{Q}^2}{r^4}[c_2+4c_3+2(\beta +4\gamma )(\ln \left(\mu r\right)+{\gamma }_E-2)].$

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Spacetime diagrams, Andrew J. S. Hamilton
• "Particle Moving Around Two Extreme Black Holes", Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.