Великий зірчастий додекаедр

Великий зірчастий додекаедр
Тип	Тіло Кеплера — Пуансо
Зірчаста форма	Правильного додекаедра
Властивості	Неопуклий, рівносторонній, правильний зірчастий багатогранник, гране-транзитивний, вершинно-транзитивний.
Комбінаторика
Елементи	12 граней; 30 ребер; 20 вершин 3-го степеня.
Грані {p}	12 Пентаграм = 12 {5/2}.
Характеристика Ейлера	$\chi =\mathrm{\Gamma }-\text{P}+\text{B}=2$
Конфігурація вершини	(5/2) 3 (тобто кожна вершина оточена трьома пентаграмами)
Конфігурація грані	V(35) / 2
Вершинна фігура	Правильний трикутник {3}Шаблон:Sfn :стор.436; , з довжиною сторони $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Шаблон:Не перекладено	7
Рід	0
Класифікація
Позначення	• W22 (в нотації М. Веннінґера) Шаблон:Sfn • U52 (як однорідний багатогранник) • C68 (в нотації Г.Коксетера) Шаблон:Sfn :стор.436
Символ Шлефлі {p, q}	{5/2,3}
Діаграма Коксетера — Динкіна	Шаблон:ДКД (або o3o5/2x)
Шаблон:Не перекладено	3 | 2 5/2
Група симетрії	Шаблон:Не перекладено, H3, [5,3], (*532), порядок 120 (Повна симетрія правильного ікосаедра)
Двоїстий багатогранник	Великий ікосаедр
Розгортка

Великий зірчастий додекаедр Шаблон:Sfn Шаблон:RpШаблон:SfnШаблон:Rp — один з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера — Пуансо.

Великий зірчастий додекаэдр вперше повністю описано в трактаті Йоганна Кеплера 1619 року «Harmonices Mundi», а назву йому дав Артур Кейлі в 1859 році. Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Має 12 граней — правильних п'ятипроменевих зірок (пентаграм), які перетинаються між собою та 20 вершин. Шість пар граней лежать в паралельних площинах, В кожній вершині перетинаються три грані.

Його символ Шлефлі — $\{\frac{5}{2},3\}$. Це означає, що кожна вершина оточена трьома гранями (пентаграмами {5/2}). Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Має центральну опуклу ділянку кожної грані, «приховану» всередині багатогранника, при цьому зовні видно тільки частину граней у вигляді рівнобедрених трикутніиків.

Шаблон:Не перекладено великого зірчастого додекаедра таке ж як і у правильного додекаедра (тобто опукла оболонка великого зірчастого додекаедра є правильним додекаедром).

Великий зірчастий додекаедр має повну симетрію правильного ікосаедра, і отже, всі його елементи симетрії, а саме:

1) має 31 вісь обертової симетрії:

‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні точки, в яких перетинаються по п'ять граней;

‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через протилежні вершини;

‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер.

2) має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через кожні дві сусідні вершини та центр багатогранника (через кожну пару паралельних ребер).

3) має центр симетрії.

Як зірчаста форма додекаедра

Діаграма ззірчення правильного додекаедра та грань великого зірчастого додекаедра на ній	Жовтим кольором зображено грань великого зірчастого додекаедра	Утворення грані великого зірчастого додекаедра

Великий зірчастий додекаедр є третьою та останньою зірчастою формою правильного додекаедра. Його грані складені з нульового, першого, другого та третього відсіків на діаграмі ззірчення правильного додекаедра. Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Великий зірчастий додекаедр утворюється з правильного додекаедра при продовженні (розширенні) його граней. Кожна грань правильного додекаедра розширюється до її взаємного перетину з п'ятьма не суміжними до неї гранями. При цьому виникають два можливих випадки: опуклий правильний п'ятикутник — грань великого додекаедра, та правильна п'ятипроменева зірка (для якої вказаний п'ятикутник є ядром) — грань великого зірчастого додекаедра.Шаблон:Rp

Також великий зірчастий додекаедр є радіально-опуклим зірчастим багатогранником, тобто кожен промінь, що виходить з його центра, перетинає багатогранник лише в одній точці.

Як нарощення правильного ікосаедра

Багатогранник, візуально схожий на великий зірчастий додекаедр, з довжиною ребра $a$ можна отримати з правильного ікосаедра з довжиною ребра $\frac{1}{{\phi }^3}\cdot a=(\sqrt{5}-2)\cdot a\approx 0.2360679\cdot a$, наростивши на його гранях прямі трикутні піраміди, висотою $\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{6}}\cdot a\approx 0,5682209\cdot a$.

Але отриманий таким чином багатогранник схожий на великий зірчастий додекаедр тільки візуально, але насправді ним не є, оскільки має додаткові вершини та ребра, що належать правильному ікосаедру та цим пірамідам (два ребра трикутних пірамід та одне ребро ікосаедра лежать на одній прямій і візуально створюють враження одного ребра).

Багатогранник, утворений шляхом приєднання прямих трикутних пірамід до граней додекаедра, є топологічно еквівалентним до триакісікосаедра (одного з тіл Каталана).

Ядро (Правильний ікосаедр)	Зірчастий багатогранник	Багатогранник Каталана (Триакісікосаедр)

Формули

У всіх формулах нижче: $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.6180339887$ — відношення пропорції «золотого перетину».

(Шаблон:OEIS).

Для великого зірчастого додекаедра з довжиною ребра $a$:
Довжина основи рівнобедреного трикутника грані (довжина сторони «нарощеного ікосаедра»)	$b=(\sqrt{5}-2)\cdot a=\frac{1}{{\phi }^3}\cdot a$	≈ 0.236067977$\cdot a$
Довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника грані	$s=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot a=(2-\phi )\cdot a=\frac{1}{{\phi }^2}\cdot a$	≈ 0.381966011$\cdot a$
Висота «нарощеної піраміди»	$H=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{6}}\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{3\cdot \phi }\cdot a$	≈ 0.35682209$\cdot a$
Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини)	$R=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (\sqrt{5}-1)\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{2\cdot \phi }\cdot a$	≈ 0.535233135$\cdot a$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)	$\rho =\frac{3-\sqrt{5}}{4}\cdot a=(1-\frac{\phi }{2})\cdot a=\frac{1}{2\cdot {\phi }^2}\cdot a$	≈ 0.190983006$\cdot a$
Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)	$r=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{25-11\sqrt{5}}{10}}\cdot a=\frac{2-\phi }{2\cdot \sqrt{\phi \sqrt{5}}}\cdot a$	≈ 0.100405708$\cdot a$
Площа поверхні	$S=15\cdot \sqrt{85-38\sqrt{5}}\cdot a^2=15\cdot (5-3\phi )\sqrt{3-\phi }\cdot a^2$	≈ 2.572701377$\cdot a^2$
Об'єм	$V=V_{\text{ікос}}+20\cdot V_{\text{пірам}}=\frac{5}{4}\cdot (13\sqrt{5}-29)\cdot a^3$	≈ 0.086104634$\cdot a^3$
Двогранний кут між гранями	$\alpha =\arccos \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=2\cdot \arctan \left(\frac{1}{\phi }\right)=\mathrm{arccot}\left(\frac{1}{2}\right)$	≈ 1.1071487 рад ≈ 63°26′ 5.81576′′

Вписана та напіввписана сфери повністю лежать всередині багатогранника та не виходять за його межі.

Центр мас великого зірчастого додекаедра знаходиться в його геометричному центрі.

Момент інерції суцільного великого зірчастого додекаедра з одиничною масою та одиничною довжиною ребра:

$I=\frac{95-39\cdot \sqrt{5}}{300}\approx 0.0259778296$

Координати вершин

Як було зазначено вище, великий зірчастий додекаедр має таке ж Шаблон:Не перекладено, як і правильний додекаедр, а отже, вершини великого зірчастого додекаедра з довжиною ребра $a=1$ та правильного додекаедра з довжиною ребра $b=\frac{1}{{\phi }^2}\cdot a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot a\approx 0.381966\cdot a$ в декартовій системі координат збігаються та мають наступні координати:

• $(\pm \frac{\sqrt{5}-1}{4},\pm \frac{\sqrt{5}-1}{4},\pm \frac{\sqrt{5}-1}{4})$ — цей набір координат формує вершини куба, вписаного в додекаедр, а отже, і в вершини великого зірчастого додекаедра; ребро цього куба (відстань між найближчими несусідніми вершинами великого зірчастого додекаедра) дорівнює $\frac{1}{\phi }\cdot a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot a\approx 0.6180339887\cdot a$

Наступні 12 вершин формують взаємно відцентровані та і взаємно ортогональні золоті прямокутники, що вписані в вершини додекаедра, а отже, і в вершини великого зірчастого додекаедра, та розташовані в координатних площинах:

• $(\pm \frac{1}{2},0,\pm \frac{3-\sqrt{5}}{4})$;
• $(0,\pm \frac{3-\sqrt{5}}{4},\pm \frac{1}{2})$;
• $(\pm \frac{3-\sqrt{5}}{4},\pm \frac{1}{2},0)$.

При цьому початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.

Осі координат Ox, Oy та Oz збігаються з трьома осями симетрії 2-го порядку.

Координатні площини Oxz, Oyz та Oxy є площинами симетрії багатогранника.

Також, великий зірчастий додекаедр з довжиною ребра $a={\phi }^2=\phi +1\approx 2.6180339887$ (при цьому довжина ребра додекаедра, що має те ж розташування вершин, дорівнює $b=1$) в декартовій системі координат має вершини з наступними координатами:

• $(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}},\pm \frac{1}{2},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}})$, $(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}},\pm \frac{1+\sqrt{5}}{4},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}})$, $(-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}},0,\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}})$;

• $(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}},\pm \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}})$, $(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}},\pm \frac{1+\sqrt{5}}{4},-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}})$, $(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}},0,-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}})$;

• $(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}},\pm \frac{1+\sqrt{5}}{4},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}})$, $(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}},\pm \frac{3+\sqrt{5}}{4},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}})$, ⁣$(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}},0,\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}})$ ;
• $(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}},\pm \frac{1+\sqrt{5}}{4},-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}})$, $(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}},\pm \frac{3+\sqrt{5}}{4},-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}})$, ⁣$(\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}},0,-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}})$.

При цьому, вершини додекаедра, а отже, і в вершини великого зірчастого додекаедра, лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного п'ятикутника. Вісь Oz збігається з однією з осей обертової симетрії 5-го порядку, вісь Oy збігається з однією з осей обертової симетрії 2-го порядку, а площина Oxz є площиною дзеркальної симетрії. Центр багатогранника знаходиться в початку координат.

Пов'язані та споріднені багатогранники

Опукла оболонка великого зірчастого додекаедра є правильним додекаедром.

Анімація послідовності зрізання великого зірчастого додекаедра від { Шаблон:Frac, 3} до {3, Шаблон:Frac}

Існує чотири неопуклих однорідних багатогранників, що утворені певними ступенями операції зрізання великого зірчастого додекаедра.

Зрізаний великий зірчастий додекаедр можна вважати виродженим неопуклим однорідним багатогранником. Вершини великого зірчастого додекаедра зрізаються до тих пір, доки повністю не зникнуть «трикутні піраміди».

Візуально він виглядає як правильний ікосаедр, але має 32 грані — 20 правильних трикутників, утворених від зрізання вершин і 12 п'ятикутників, утворених від зрізання пентаграм, що знаходяться всередині багатогранника. П'ятикутники зі зрізаних пентаграм насправді є виродженими десятикутниками {10/2}, що приймають форму подвійно-накритих п'ятикутників із двома множинами вершин і ребер, накладених одне на одне.

Коли Шаблон:Frac -кутник скорочується в процесі зрізання, він стає Шаблон:Frac -кутником.

Наприклад, зрізаний п'ятикутник { Шаблон:Frac} стає десятикутником { Шаблон:Frac}, а зрізана пентаграма { Шаблон:Frac} стає подвійно-накритим п'ятикутником (тобто десятикутником, що має форму п'ятикутника) { Шаблон:Frac} (це означає, що ми відвідаємо кожну вершину двічі, щоб завершити багатокутник).

Багатогранник має 60 вершин (в кожній вершині «ікосаедра» містяться п'ять суміщених вершин багатогранника) та 90 ребер (кожне ребро «ікосаедра» є потрійним — одне ребро від зрізання вершини (вершинна фігура — опуклий правильний трикутник) та два ребра від зрізання пентаграми).

Найбільш наближеним до нього багатогранником є Шаблон:Не перекладено, який також має зовнішній вигляд ікосаедра та внутрішні п'ятикутні грані, але має іншу кількість вершин та ребер.

Шаблон:Не перекладено утворюється при Шаблон:Не перекладено (ректифікації) великого зірчастого додекаедра, коли зрізання вершин проводиться до точок, що лежать на серединах ребер багатогранника, тобто ребра початкового багатогранника фактично зникають.

Шаблон:Не перекладено є однорідним неопуклим багатогранником U₅₅, що має діаграму Коксетера — Динкіна Шаблон:ДКД та символ Шлефлі t{3,5/2}. Має 32 граней (12 правильних п'ятипроменевих зірок (пентаграм) та 20 правильних шестикутників), 90 ребер та 60 вершин.

Процес зрізання великого зірчастого додекаедра завершується (при повному глибокому зрізанні або біректифікації) утворенням двоїстого до нього багатогранника — великого ікосаедра, коли грані початкового багатогранника зменшуються до точок, тобто фактично зникають.

Назва	Великий зірчастий додекаедр	Зрізаний великий зірчастий додекаедр	Шаблон:Не перекладено	Шаблон:Не перекладено	Великий ікосаедр
Діаграма Коксетера — Динкіна	Шаблон:ДКД o3o5/2x	Шаблон:ДКД o3x5/2x	Шаблон:ДКД o3x5/2o	Шаблон:ДКД x3x5/2o	Шаблон:ДКД x3o5/2o
Символ Шлефлі	{5/2,3}	t{5/2,3}	r{3,5/2}	t{3,5/2}	{3,5/2}
Зображення

Родина зірчастих форм правильного додекаедра.

Зірчасті форми правильного додекаедра
	Тіло Платона	Тіла Кеплера — Пуансо
	Додекаедр	Малий зірчастий додекаедр	Великий додекаедр	Великий зірчастий додекаедр
Символ Шлефлі {p, q}	{5,3}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}
Зображення
Діаграма зірчастого багатогранника
Обертання

Великий зірчастий додекаедр з піритоедричною симетрією

Додатково

Обертання багатогранника	Сферична проєкція	Розгортка	Модель багатогранника з паперу
	Цей багатогранник також можна подати у вигляді сферичної плитки зі щільністю 7. (Одна сферична грань у вигляді п'ятипроменевої зірки, обведена синім і заповнена жовтим кольорами)	Шаблон:Nowrap Великий зірчастий додекаедр можна скласти з паперу, з'єднавши разом 20 правильних трикутних пірамід (без основи). Кожен рівнобедрений трикутник (золотий трикутник) в цій розгортці візуально представляє видиму частину правильного п'ятикутника — грані великого зірчастого додекаедра.

Шаблон:Не перекладено великого зірчастого додекаедра
Просторовими Шаблон:Не перекладено великого зірчастого додекаедра є 6 просторових десятипроменевих зірок (декаграм).

Див. також

• Однорідний зірчастий многогранник
• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

• Шаблон:Стаття

• Шаблон:Cite journal

Посилання

• Шаблон:MathWorld
  • Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Polytope Wiki
• Шаблон:Dmccooey
• Nan Ma. «Great stellated dodecahedron {5/2, 3}»
• Klitzing, Richard. «gissid»
• Однорідні багатогранники та двоїсті до них
• Stellation and facetting — a Brief History
• Paper Great Stellated Dodecahedron