Група Гейзенберга

У математиці група Гейзенберга $H$ (названа на честь Вернера Гейзенберга) — група верхньотрикутних матриць розмірності $3\times 3$ вигляду

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

де операція множення визначена як множення матриць. Елементи $a$, $b$ і $c$ належать довільному комутативному кільцю з одиницею, в якості якого часто обирають кільце дійсних чисел (в результаті отримують неперервну групу Гейзенберга) або ж кільце цілих чисел (в результаті отримують дискретну групу Гейзенберга).

Неперервна група Гейзенберга з'являється в описі одновимірних систем квантової механіки, особливо в контексті Шаблон:Нп. У загальному випадку групи Гейзенберга можна розглядати у зв'язку з $n$-вимірними системами або ж із довільними симплектичними векторними полями.

Тривимірний випадок

У тривимірному випадку добуток двох матриць Гейзенберга визначається як

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& a^{\prime }& c^{\prime }\\ 0& 1& b^{\prime }\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& a+a^{\prime }& c+a{b}^{\prime }+c^{\prime }\\ 0& 1& b+b^{\prime }\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Як можна побачити з члена $a{b}^{\prime }$, ця група Шаблон:Нп.

Нейтральним елементом (одиницею) групи Гейзенберга є одинична матриця, а обернений визначається наступним чином:

${\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -a& ab-c\\ 0& 1& -b\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Ця група є підгрупою 2-вимірної афінної групи $\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}(2)$:

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

дія якої на вектор $(\overrightarrow{x},1)$ відповідає афінному перетворенню

$\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\overrightarrow{x}+\left(\begin{array}{c}c\\ b\end{array}\right).$

Є кілька яскравих прикладів тривимірного випадку.

Неперервна група Гейзенберга

Якщо $a$, $b$, $c$ — дійсні числа (в кільці $ℝ$), то маємо неперервну групу Гейзенберга $H_3(ℝ)$. Це нільпотентна дійсна група Лі розмірності 3.

Додатково до представлення дійсними $3\times 3$ матрицями, неперервна група Гейзенберга має також декілька різних представлень у термінах функціональних просторів. Згідно з Шаблон:Нп, існує єдине, з точністю до ізоморфізму, незвідне унітарне представлення групи $H$, у якому його центр діє за допомогою заданого нетривіального характеру. Це представлення має декілька важливих застосувань чи моделей. Так, у моделі Шрьодінгера, група Гейзенберга діє на просторі Шаблон:Нп функцій. У Шаблон:Нп вона діє на просторі голоморфних функцій верхньої півплощини; воно назване так на честь зв'язку з тета-функціями.

Дискретна група Гейзенберга

Частина графу Келі дискретної групи Гейзенберга, із генераторами $x$, $y$, $z$ як у тексті. (Кольори використані лише для наочності.)

Якщо $a$, $b$, $c$ — цілі числа (в кільці $\mathbb{Z}$), то маємо дискретну групу Гейзенберга $H_3(\mathbb{Z})$. Це Шаблон:Нп нільпотентна група з двома генераторами

$x=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

і

$y=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

і зі співвідношеннями

$z=xy{x}^{-1}{y}^{-1},xz=zx,yz=zy,$

де

$z=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

є генератором центра групи $H_3$. (Відмітимо, що обернені до матриць $x$, $y$ і $z$ утворюються заміною $1$ над діагоналлю на $-1$).

Згідно з теоремою Громова (в англомовній літературі — теорема Басса), у цієї групи поліноміальна швидкість зростання порядку 4. Можна генерувати будь-які елементи наступним чином:

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=y^b{z}^c{x}^a.$

Група Гейзенберга за модулем непарного простого числа $p$

Якщо $a$, $b$, $c$ з $Z/pZ$ для довільного непарного простого $p$, то отримаємо групу Гейзенберга за модулем $p$. Це група порядку $p^3$ із генераторами $x$, $y$ та співвідношеннями:

$z=xy{x}^{-1}{y}^{-1},x^p=y^p=z^p=1,xz=zx,yz=zy.$

Аналоги групи Гейзенберга над скінченними полями простого непарного порядку $p$ називаються Шаблон:Нп або ж, більш точно, додатковою спеціальною групою степеня $p$. Узагальнюючи, якщо похідна підгрупа групи $G$ міститься в центрі $Z$ групи $G$, тоді відображення $G/ZG/Z\to Z$ є кососиметричним білінійним оператором на абелівських групах.

Однак, умова, щоб $G/Z$ була скінченним векторним простором, вимагає, аби підгрупа Фраттіні групи $G$ належала центру групи. А також умова, аби $Z$ був одновимірним векторним простором над $Z/pZ$ вимагає, щоб порядок центра $Z$ дорівнював $p$. Звідки випливає, що якщо група $G$ неабелева, то $G$ — додаткова спеціальна група. Якщо ж група $G$ — додаткова спеціальна група, але не степеня $p$, тоді загальна конструкція при застосуванні до симплектичного векторного простору $G/Z$ не визначає груповий ізоморфізм у $G$.

Група Гейзенберга за модулем 2

Група Гейзенберга за модулем 2 має порядок 8 й ізоморфна діедральній групі $D_4$ (група симетрій квадрата). Якщо

$x=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

і

$y=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

тоді

$xy=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

і

$yx=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Елементи $x$ і $y$ відповідають віддзеркаленням (з кутом між ними, що дорівнює $45^{\circ }$), у той час, як $xy$ та $yx$ відповідають поворотам на $90^{\circ }$. Інші віддзеркалення — це $xyx$ і $yxy$, а поворот на $180^{\circ }$ можна представити як $xyxy$ $(=yxyx)$.

Див. також

• Канонічне комутаційне співвідношення
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Зовнішні посилання

• Groupprops, The Group Properties Wiki Unitriangular matrix group UT(3,p)