Зовні-описаний чотирикутник

В Евклідовій геометрії зовні-описаний чотирикутник^[1] — опуклий чотирикутник, у якого продовження всіх чотирьох сторін є дотичними до кола поза чотирикутником. Через що також має назву зовні-дотичний чотирикутник.^[2]Шаблон:Rp

Коло, яке торкається продовжень сторін чотирикутника, називається зовні-вписаним колом (англ. exscribed circle або скорочено excircle). Його центр I_c лежить на перетині шести бісектрис кутів чотирикутника, а саме: двох бісектрис протилежних внутрішніх кутів (при вершинах А та С на мал.), двох бісектрис зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника (при вершинах В та D на мал.), та двох бісектрис кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.^[3]Шаблон:Rp

Проте чотирикутник має інші вписані ззовні кола (англ. escribed circle), що торкаються ззовні до сторони чотирикутника та продовжень двох суміжних його сторін (ці кола не слід плутати з зовні-вписаним колом чотирикутника). Так, всі опуклі чотирикутники мають чотири вписаних ззовні кола, водночас вони можуть мати щонайбільше одне зовні-вписане коло.^[3]Шаблон:Rp

В трикутнику ці два кола тотожні, та мають назву зовнівписане коло трикутника.

Особливі випадки

Всі дельтоїди є зовні описаними чотирикутниками. І одночасно в кожен дельтоїд можна вписати коло.

Паралелограми (до яких належать квадрати, ромби та прямокутники) можна вважати зовні-описаними чотирикутниками з нескінченним радіусом зовні-вписаного кола, так як вони мають властивості зовні-описаних чотирикутників, які описано нижче, але зовні-вписане коло не може бути дотичним до обох пар продовжень протилежних сторін (оскільки вони паралельні).^[3]Шаблон:Rp

Опуклі чотирикутники, довжини сторін яких утворюють арифметичну прогресію, завжди є зовні описаними чотирикутниками, оскільки вони задовольняють умовам для довжин суміжних сторін, що наведені нижче.

Умови, за яких чотирикутник є зовні-описаним

У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був зовні-описаним.

Опуклий чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли шість бісектрис кутів чотирикутника є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці.

А саме: дві бісектриси протилежних внутрішніх кутів, дві бісектриси зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника та дві бісектриси кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.

Ця спільна точка є центром зовні-вписаного в чотирикутник кола.

Теорема Штейнера. Опуклий чотирикутник з послідовними сторонами AB = a, BC = b, CD = c, AD = d є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли сума двох сусідніх сторін дорівнює сумі двох інших сторін. Це було доведено Якобом Штейнером в 1846 році.^[4]

При цьому можливі два випадки:Шаблон:NumBlk або Шаблон:NumBlk У першому випадку зовні-вписане коло знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах A або C (за межами чотирикутника), а в другому випадку воно знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах B або D.

Поєднуючи рівності (1) та (2), отримаємо умову, що чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли абсолютне значення різниць довжин його протилежних сторін є рівними для двох пар протилежних сторін,^[3]Шаблон:Rp

$| a - c | = | b - d | .$

Ці рівності тісно пов'язані з теоремою Піто для описаного чотирикутника, яка стверджує, що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

Теорема Уркхарта

Якщо в опуклому чотирикутнику ABCD протилежні сторони перетинаються в точках E і F, то^[5],^[6] $| A B | + | B C | = | A D | + | D C | \Leftrightarrow | A E | + | E C | = | A F | + | F C | .$

Висновок зліва направо названо на честь Л. М. Уркхарта (1902—1966), хоча він був доведений задовго до цього Аугустусом Де Морганом у 1841 році.

Даніель Педо назвав цю теорему найелементарнішою теоремою в евклідовій геометрії, оскільки вона стосується лише прямих ліній і відстаней.^[5]Шаблон:Rp

Еквівалентність була доведена Моваффаком Хаджа (Mowaffaq Hajja)^[5], що робить рівність праворуч ще однією необхідною та достатньою умовою для того, щоб чотирикутник був зовні-описаним.

Порівняння властивостей зовні-описаного чотирикутника з описаним чотирикутником

Зовні-описаний чотирикутник тісно пов'язаний з описаним чотирикутником, у якого всі сторони дотичні до кола (всередині чотирикутника).

Кілька метричних характеристик описаних чотирикутників (лівий стовпчик у таблиці) мають схожі аналоги для зовні-описаних чотирикутників (середній і правий стовпчики в таблиці).^[3] Таким чином, опуклий чотирикутник має вписане коло або зовні-вписане коло поза відповідною вершиною чотирикутника тоді і тільки тоді, коли виконується будь-яка з п'яти необхідних і достатніх умов, наведених нижче.

Вписане коло	Зовні-вписане коло поза вершинами A обо C	Зовні-вписане коло поза вершинами B або D
$R_{1} + R_{3} = R_{2} + R_{4}$	$R_{1} + R_{2} = R_{3} + R_{4}$	$R_{1} + R_{4} = R_{2} + R_{3}$
$a \cdot p_{2} \cdot q_{2} + c \cdot p_{1} \cdot q_{1} = b \cdot p_{1} \cdot q_{2} + d \cdot q_{1} \cdot p_{2}$	$a \cdot p_{2} \cdot q_{2} + b \cdot p_{1} \cdot q_{2} = c \cdot p_{1} \cdot q_{1} + d \cdot q_{1} \cdot p_{2}$	$a \cdot p_{2} \cdot q_{2} + d \cdot q_{1} \cdot p_{2} = b \cdot p_{1} \cdot q_{2} + c \cdot p_{1} \cdot q_{1}$
$\frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{3}} = \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{4}}$	$\frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{2}} = \frac{1}{h_{3}} + \frac{1}{h_{4}}$	$\frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{4}} = \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{3}}$
$\tan \frac{x}{2} \cdot \tan \frac{z}{2} = \tan \frac{y}{2} \cdot \tan \frac{w}{2}$	$\tan \frac{x}{2} \cdot \tan \frac{w}{2} = \tan \frac{y}{2} \cdot \tan \frac{z}{2}$	$\tan \frac{x}{2} \cdot \tan \frac{y}{2} = \tan \frac{z}{2} \cdot \tan \frac{w}{2}$
$r_{1} \cdot r_{3} = r_{2} \cdot r_{4}$	$r_{1} \cdot r_{2} = r_{3} \cdot r_{4}$	$r_{1} \cdot r_{4} = r_{2} \cdot r_{3}$

В наведених рівностях: Точка P — точка перетину діагоналей чотирикутника ABCD.

R₁, R₂, R₃,R₄ — радіуси кіл, описаних навколо трикутників △ABP, △BCP, △CDP, △DAP;
h₁, h₂, h₃, h₄ — висоти цих трикутників, тобто відстані від точки P до сторін a = AB, b = BC, c = CD, d = DA відповідно;
p₁, p₂, та q₁, q₂, — відстані до точки P від вершин A, С та B, D відповідно;
x, y, z, w — кути ∠ABD, ∠ADB, ∠BDC, ∠DBC відповідно;
r₁, r₂, r₃, r₄ — радіуси кіл, вписаних ззовні в чотирикутник, які дотикаються ззовні до сторін a, b, c, d відповідно та продовжень двох суміжних сторін чотирикутника.

Пряма Ньютона

Нехай чотирикутник ABCD є описаним, або зовні-описаним. Якщо точки M та N — середини його діагоналей, а точка О — центр вписаного кола (або зовні-вписаного), то точки M, N, O — колінеарні, тобто лежать на одній прямій.^[7]Шаблон:Rp

Формули

Площа

Площу зовні-описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою:

$S = \sqrt{a b c d} \sin \frac{B + D}{2} .$

Ця формула ідентична до формули площі описаного чотирикутника, і таким же чином виводиться з формули Бретшнайдера.

Радіус зовні-вписаного кола

Радіус зовні-вписаного кола чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою: .^[3]Шаблон:Rp

r = \frac{S}{| a - c |} = \frac{S}{| b - d |}

де S площа зовні-описаного чотирикутника.

Для зовні-описаного чотирикутника радіус зовні-вписаного кола максимальний, якщо чотирикутник є також і вписаним, тобто для зовні-біцентричного чотирикутника.

Також ці формули показують, що паралелограми (також і ромби, квадрати та прямокутники) мають нескінченний радіус зовні-вписаного кола, позаяк їх протилежні сторони рівні.

Зовні-біцентричний чотирикутник

Якщо зовні-описаний чотирикутник є одночасно і вписаним, тобто має описане коло, то він називається зовні-біцентричним чотирикутником.^[2]

Позаяк в цього чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює 180°, то: $\sin \frac{B + D}{2} = \sin 9 0^{\circ} = 1 .$

А отже, його площу можна знайти за формулою:

$S = \sqrt{a b c d}$

Ця формула така ж як і для біцентричного чотирикутника.

Якщо x — відстань між центром описаного кола O та центром зовні-вписаного кола I_c , то^[2]

$\frac{1}{(R - x)^{2}} + \frac{1}{(R + x)^{2}} = \frac{1}{r^{2}},$

де R — радіус описаного кола, а r — радіус зовні-вписаного кола.

Це те ж сама рівність, що і в теоремі Фусса для біцентричного чотирикутника. Однак, вирішуючи квадратне рівняння відносно х, потрібно обирати інший корінь, ніж той, що обирається для біцентричного чотирикутника. Таким чином, для зовні-описаного чотирикутника:^[2]

$x = \sqrt{R^{2} + r^{2} + r \sqrt{4 R^{2} + r^{2}}} .$

З цієї формули випливає, що

$x > R + r,$

це означає, що описане коло і зовні-вписане коло ніколи не можуть перетнутися.

Див. також

Примітки

Шаблон:Reflist

Посилання

Extangential Quadrilateral На dynamicmathematicslearning.com

↑ Шаблон:Cite web
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Шаблон:Citation
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Шаблон:Citation
↑ Ф. G.-M., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, стор. 318.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Citation

[1] Шаблон:Cite web

[Mirko_Radic-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Шаблон:Citation

[Josefsson_Martin-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Шаблон:Citation

[4] Ф. G.-M., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, стор. 318.

[Hajja_Mowaffaq-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 Шаблон:Citation

[6] Шаблон:Cite web

[7] Шаблон:Citation

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Зовні-описаний чотирикутник

Зміст

Особливі випадки

Умови, за яких чотирикутник є зовні-описаним

Порівняння властивостей зовні-описаного чотирикутника з описаним чотирикутником

Формули

Площа

Радіус зовні-вписаного кола

Зовні-біцентричний чотирикутник

Див. також

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Зовні-описаний чотирикутник

Особливі випадки

Умови, за яких чотирикутник є зовні-описаним

Порівняння властивостей зовні-описаного чотирикутника з описаним чотирикутником

Формули

Площа

Радіус зовні-вписаного кола

Зовні-біцентричний чотирикутник

Див. також

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Пошук