Ортогональні функції

Ортогональні функції в математиці належать функційному простору (це векторний простір з білінійною формою). Якщо областю визначення функцій цього простору є інтервал, білінійну форму можна визначити як інтеграл на інтервалі для добутку цих функцій:

$⟨f,g⟩=\int \overline{f(x)}g(x)dx.$

Функції $f$ та $g$ є ортогональними, коли інтеграл рівний нулю, тобто, $⟨f,g⟩=0$ при $f\ne g$. Подібно до базису векторів скінченно-вимірного простору, ортогональні функції можуть утворювати нескінченний базис функційного простору. Описаний інтеграл є аналогом скалярного добутку векторів.

Тригонометричні функції

Шаблон:Main Деякі набори ортогональних функцій є стандартним базисом для апроксимації функцій.

Наприклад, функції Шаблон:Nowrap та Шаблон:Nowrap є ортогональними на інтервалі $x\in (-\pi ,\pi )$ для $m\ne n$, де n та m є натуральними числами. Тоді

$2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left((m-n)x\right)-\cos \left((m+n)x\right),$

тому інтеграл добутку двох синусів рівний нулю. Разом із функціями косинус, ці ортогональні функції можуть бути звбрані в тригонометричний многочлен, щоб апроксимувати задану функцію на інтервалі своїм рядом Фур'є.

Многочлени

Шаблон:Main Якщо для послідовності многочленів $\{1,x,x^2,\dots \}$ на ітервалі $[-1,1]$ застосувати процес Грама — Шмідта, то отримаємо Поліноми Лежандра. Ще одним прикладом ортогональних поліномів є Приєднані функції Лежандра.

Для ортогоналізації, вагова функція $w(x)$ може вставлятись в таку білінійну форму:

$⟨f,g⟩=\int w(x)f(x)g(x)dx.$

Поліноми Лаґерра на $(0,\mathrm{\infty })$ мають вагову функцію $w(x)=e^{-x}$.

В фізиці та теорії ймовірностей Поліноми Ерміта на $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, мають вагові функції $w(x)=e^{-x^2}$ та $w(x)=e^{-x^2/2}$, відповідно.

Поліноми Чебишова визначені на $[-1,1]$ мають вагові функції $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ та $w(x)=\sqrt{1-x^2}$.

Шаблон:Li визначені на одиничному крузі мають ортогональність радіальних та кутових частин.

Функції з бінарним значенням

Функція Уолша and Гаарів вейвлетє прикладами ортогональних функцій з дискретними значеннями.

Раціональні функції

Раціональні функції Чебиреша порядку n=0,1,2,3,4 між x=0.01 та 100.

Поліноми Лежандра та Чебишева є ортогональними системами на інтервалі Шаблон:Nowrap, але деколи потрібні ортогональні системи на Шаблон:Nowrap. Тоді застосовують Перетворення Келі, щоб перевести область визначення до Шаблон:Nowrap. Так утворюються сімейства раціональних ортогональних функцій, що називаються called Шаблон:Li та Шаблон:Li.

Диференціальні рівняння

Розв'язок лінійних диференціальних рівнянь з крайовими умовами є середнє зважене ортогональних розв'язків (a.k.a. власних функцій), тобто це Шаблон:Li.

Див. також

• Власні вектори та власні значення
• Гільбертів простір
• Теорема Карунена — Лоева
• Шаблон:Li
• Функції Ваньє

Джерела

• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:MathWorld