Ґратка E8

Ґратка Е₈ або ґратка Коркінас — Золотарьова — коренева ґратка групи $E_8$. Вона реалізує в розмірності 8:

• найбільше можливе контактне число;
• найщільніше пакування куль.

Зазвичай позначається $E_8$, як і група $E_8$.

Історія

Існування цієї ґратки довів Шаблон:Iw 1867 року. Першу явну побудову надали Шаблон:Нп і Шаблон:Нп 1873 року.

Опис

Ґратку $E_8$ можна реалізувати як дискретну підгрупу ${ℝ}^8$ з векторів, що мають такий набір властивостей:

• всі координати будь-якої точки — або цілі числа, або напівцілі числа (тобто ціле число з половиною);
• сума всіх восьми координат є парним цілим числом.

Інакше кажучи,

$E_8=\{(x_i)\in {\mathbb{Z}}^8\cup (\mathbb{Z}+\frac{1}{2}{)}^8:\sum _i{x}_i\equiv 0(\text{mod }2)\}.$

Неважко перевірити, що сума та різниця будь-яких двох векторів з $E_8$ міститься в $E_8$, отже $E_8$ є підгрупою ${ℝ}^8$.

Ґратку $E_8$ можна також реалізувати як множину всіх точок в $E{\text{'}}_8$ у ${ℝ}^8$ таких, що

• всі координати — цілі числа з парною сумою або
• всі координати — напівцілі з непарною сумою.

Інакше кажучи

${E_8}^{\prime }=\{(x_i)\in {\mathbb{Z}}^8\cup (\mathbb{Z}+\frac{1}{2}{)}^8:\sum _i{x}_i\equiv 2x_1\equiv 2x_2\equiv 2x_3\equiv 2x_4\equiv 2x_5\equiv 2x_6\equiv 2x_7\equiv 2x_8(\text{mod }2)\}.$

або

${E_8}^{\prime }=\{(x_i)\in {\mathbb{Z}}^8:\sum _i{x}_i\equiv 0(\text{mod }2)\}\cup \{(x_i)\in (\mathbb{Z}+\frac{1}{2}{)}^8:\sum _i{x}_i\equiv 1(\text{mod }2)\}.$

Ґратки $E_8$ і $E{\text{'}}_8$ ізоморфні, одну можна отримати з іншої, змінивши знак однієї з координат.

Властивості

Характеризація

Ґратку $E_8$ можна охарактеризувати як єдину ґратку в ${ℝ}^8$, що має такі властивості:

• Це унімодулярна ґратка, тобто
  • з її базису можна скласти матрицю $8\times 8$ із визначником ±1.
  • Інакше кажучи, об'єм фундаментальної області цієї ґратки дорівнює 1.
  • Еквівалентно, $E_8$ є самодвоїстою, тобто вона збігається зі своєю оберненою ґраткою.
• Ця ґратка парна, тобто норма будь-якого її вектора — парне ціле число.

Парні унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8. У розмірності 16 таких ґраток дві: $E_8\oplus E_8$ і $D_{16}^{+}$ (остання будується аналогічно $E_8$ у розмірності 16). У розмірності 24 існує 24 такі ґратки, найважливішою з них є ґратка Ліча.

Базис

Один із можливих базисів для $E_8$ задається стовпцями такої верхньотрикутної матриці

$\left[\begin{array}{cccccccc}2& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 1/2\\ 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 1/2\\ 0& 0& 1& -1& 0& 0& 0& 1/2\\ 0& 0& 0& 1& -1& 0& 0& 1/2\\ 0& 0& 0& 0& 1& -1& 0& 1/2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& -1& 1/2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1/2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1/2\end{array}\right].$

Тобто $E_8$ складається з усіх цілих лінійних комбінацій стовпців. Усі інші базиси виходять з одного множенням праворуч на матрицю GL(8, Z).

Мінімальна норма

Найкоротший ненульовий вектор $E_8$ має норму 2, всього ґратка містить 240 таких векторів. Ці вектори утворюють кореневу систему групи $E_8$. Тобто ґратка $E_8$ є кореневою ґраткою $E_8$. Будь-який вибір із 8 простих коренів дає базис $E_8$.

Фундаментальна область

Комірками Вороного ґратки $E_8$ є Шаблон:Не перекладено.

Група симетрій

Група симетрій ґратки в Rⁿ визначається як підгрупа ортогональної групи O(n), яка зберігає ґратку. Група симетрій ґратки $E_8$ породжена відбиттями в гіперплощинах, ортогональних 240 кореням ґратки. Її порядок дорівнює

$|W({\mathrm{E}}_8)|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.$

Ця група містить підгрупу порядку 128 8!, що складається з усіх перестановок координат та парного числа змін знаків. Повна група симетрій породжується цією підгрупою та блоково-діагональною матрицею $H_4\oplus H_4$, де $H_4$ — матриця Адамара

$H_4=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right].$

Пакування куль

У задачі про пакування куль питається, як найщільніше упакувати без накладань кулі фіксованого радіуса в простір. У R⁸ розміщення куль радіуса $1/\sqrt{2}$ у точках ґратки $E_8$ дає пакування найбільшої щільності, що дорівнює

$\frac{{\pi }^4}{2^{4}4!}\cong 0.25367.$

Те, що ця щільність найбільша для ґратчастих пакувань, було відомо давно. Крім того, було відомо, що така ґратка єдина з точністю до подібності. Марина Вязовська нещодавно довела, що це пакування є оптимальним навіть серед усіх пакувань.

Розв'язки задачі пакування куль відомі тільки в розмірностях 1, 2, 3, 8, і 24. Той факт, що розв'язки відомі в розмірностях 8 і 24, пов'язаний з особливими властивостями ґратки $E_8$ та її 24-вимірного аналога — ґратки Ліча.

Контактне число

У задачі про контактне число запитується, яка найбільша кількість куль фіксованого радіуса може торкнутися центральної кулі такого ж радіуса. У розмірності 8 відповідь — 240; таку конфігурацію можна отримати, якщо розмістити кулі в точках ґратки $E_8$ із мінімальною нормою. Це доведено 1979 року.

Розв'язки задачі про контактне число відомі тільки в розмірностях 1, 2, 3, 4, 8, і 24. Той факт, що розв'язки відомі в розмірностях 8 і 24, також пов'язаний із особливими властивостями ґратки $E_8$ та її 24-вимірного аналога — ґратки Ліча.

Тета-функція

Шаблон:Див. такожТета-функція ґратки Λ визначається як сума

${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{\Lambda }}(\tau )=\sum _{x\in \mathrm{\Lambda }}{e}^{i\pi \tau \Vert x{\Vert }^2}\mathrm{I}\mathrm{m}\tau >0.$

Вона є голоморфною функцією на верхній півплощині. Крім того, тета-функція парної унімодулярної ґратки рангу $n$ є модульною формою ваги $n/2$.

З точністю до нормалізації є єдина модульна форма ваги 4: це ряд Ейзенштейна $G_4(\tau )$. Тобто тета-функція ґратки $E_8$ має бути пропорційною $G_4(\tau )$. Це дає

${\mathrm{\Theta }}_{E_8}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(n)q^{2n}$

де ${\sigma }_3(n)$ є функцією дільників s $q=e^{i\pi \tau }$.

Звідси випливає, що число векторів норми $2n$ у ґратках $E_8$ дорівнює $240\cdot$(сума кубів дільників $n$). Це Шаблон:OEIS:

${\mathrm{\Theta }}_{E_8}(\tau )=1+240q^2+2160q^4+6720q^6+17520q^8+30240q^{10}+60480q^{12}+O(q^{14}).$

Тета-функцію ґратки $E_8$ можна записати в термінах тета-функцій Якобі:

${\mathrm{\Theta }}_{E_8}(\tau )=\frac{1}{2}({\theta }_2(q{)}^8+{\theta }_3(q{)}^8+{\theta }_4(q{)}^8)$

де

${\theta }_2(q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{(n+\frac{1}{2}{)}^2}{\theta }_3(q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}{\theta }_4(q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n^2}.$

Код Гемінга

Код Гемінга $H(8,4)$ — це двійковий код довжини 8 і 4-го рангу; тобто, це 4-вимірний підпростір фінітного векторного простору (F₂)⁸. Записавши елементи (F₂)⁸ як 8-бітові цілі числа в шістнадцятковій системі, код $H(8,4)$ можна явно подати як

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Код $H(8,4)$ є самодвоїстим кодом типу II. Він має мінімальну вагу Гемінга 4; це означає, що будь-які два кодові слова відрізняються принаймні 4-ма бітами. Це найбільший двійковий код довжини 8 з такою властивістю.

За двійковим кодом $C$ довжини $n$ можна побудувати ґратку $\mathrm{\Lambda }$, взявши множину векторів $x\in {\mathbb{Z}}^n$ таких, що $x$ збігається (за модулем 2) з кодовими словами із $C$. Часто зручно масштабувати $\mathrm{\Lambda }$ з коефіцієнтом $1/\sqrt{2}$,

$\mathrm{\Lambda }=\frac{1}{\sqrt{2}}\{x\in {\mathbb{Z}}^n:xmod2\in C\}.$

Застосування цієї конструкції до самодвоїстого коду типу II дає парну, унімодулярну ґратку. Зокрема, для коду Гемінга $H(8,4)$ отримуємо ґратку $E_8$.

Задача відшукання явного ізоморфізму між отриманою ґраткою і ґраткою $E_8$, визначеною вище, не цілком тривіальна.

Цілі октоніони

Ґратка $E_8$ використовується при визначенні цілих октоніонів аналогічно цілим кватерніонам.

Цілі октоніони, природно, утворюють ґратку в O. Ця ґратка подібна до ґратки $E_8$ із коефіцієнтом $1/\sqrt{2}$. (Мінімальна норма у цілих октоніонах дорівнює 1, а не 2).

Цілі октоніони утворюють неасоціативне кільце.

Застосування

• 1982 року Фрідман побудував топологічний чотиривимірний многовид, званий $E_8$-многовидом, чия форма перетинів задається ґраткою $E_8$. Цей многовид є прикладом топологічного многовиду, який допускає гладку структуру і навіть тріангульовний.
• У теорії струн гетеротична струна — це своєрідний гібрид 26-вимірних бозонних струн і 10-вимірних суперструн. Для того, щоб теорія працювала правильно, 16 зайвих розмірностей мають бути компактифіковані парними унімодулярними ґратками рангу 16. Є дві такі ґратки: $E_8\oplus E_8$ і $D_{16}^{+}$ (побудована аналогічно $E_8$). Це приводить до двох версій гетеротичних струн, відомих як $E_8\times E_8$ та $SO(32)$.

Див. також

• Ґратка Ліча
• Група Лі Е ₈
• E8-многовид

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга У розділі 9 обговорюються цілі октиніони та ґратка E₈.