Ґратка Ліча

Ґратка Ліча — ґратка певного типу в 24-вимірному просторі.

Побудови

Побудова через код Голея

Гратку Ліча можна визначити за допомогою коду Голея $𝒞$ типу $[24,12,8]$ як образ при стисканні в $2\sqrt{2}$ разів множини векторів $(a_1,\dots ,a_{24})\in {\mathbb{Z}}^{24}$ таких, що

$a_1+a_2+\cdots +a_{24}\equiv 4a_1\equiv 4a_2\equiv \cdots \equiv 4a_{24}(\mathrm{mod}8)$

і для кожного класу j лишків за модулем 4 двійкове 24-бітове слово v, задане як

$v_i=\{\begin{array}{cc}1,& a_i\equiv j(\mathrm{mod}4),\\ 0,& a_i\equiv ̸j(\mathrm{mod}4),\end{array}$

належить $𝒞$.

Побудова через псевдоевклідів простір сигнатури (25,1)

Гратку Ліча можна побудовати за допомогою псевдоевклідового простору сигнатури (25,1). А саме, в цьому просторі розглядають парну унімодулярну ґратку ${\mathrm{I}\mathrm{I}}_{25,1}$, що складається з векторів $(x_0,\dots ,x_{25})$, у яких усі координати одночасно цілі або одночасно напівцілі, і при цьому $x_0+\dots +x_{24}-x_{25}\in 2\mathbb{Z}$, інакше кажучи, скалярний добуток із вектором зі всіх одиниць парний.

Такій ґратці належить ізотропний вектор $u=(0,1,\dots ,24,70)$. Зазначимо, що через ізотропність $u\in ⟨u{⟩}^{\perp }$ тому можна розглянути фактор-простір $⟨u{⟩}^{\perp }/⟨u⟩$. Обмеження скалярного добутку на цей факторпростір (знову-таки, через ізотропність $u$) коректно визначене та виявляється додатно визначеним. Образ $(⟨u{⟩}^{\perp }\cap {\mathrm{I}\mathrm{I}}_{25,1})/⟨u⟩$ перетину початкової ґратки з ортогональним доповненням за такої факторизації і буде ґраткою Ліча в отриманому 24-вимірному евклідовому просторі.

Властивості

• Ґратка Ліча є парною самодвоїстою (зокрема, унімодулярною) ґраткою з довжиною найкоротшого вектора рівною 2.
• Ґратка Ліча реалізує найбільше можливе контактне число в розмірності 24. Її контактне число дорівнює 196560.
• Ґратка Ліча реалізує щільне пакування куль у розмірності 24. Щільність пакування ґратки Ліча становить $\frac{{\pi }^{12}}{12!}\approx 0.001930$.
• Група автоморфізмів ґратки Ліча — група Конвея Co₀. Вона включає деякі спорадичні групи, зокрема Co₁ як фактор-групу Co₀ за інверсією простору, Шаблон:Не перекладено і Шаблон:Не перекладено як підгрупи. Група Конвея має порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хоча обертова симетрія ґратки Ліча дуже висока, її група автоморфізмів не включає жодних відбиттів; іншими словами, ґратка Ліча хіральна.

Див. також

• Ґратка E8

Література

• Шаблон:Книга