Ізотропний вектор

Ізотропний вектор (нуль-вектор) — ненульовий вектор псевдоевклідового векторного простору (над полем дійсних чисел) або унітарного векторного простору (над полем комплексних чисел), ортогональний самому собі, або, що еквівалентно, який має нульову довжину в сенсі скалярного добутку розглянутого простору. Найменування ізотропний пов'язане з фізичним поняттям ізотропії.

У евклідових просторах таких векторів немає — нульову довжину мають лише вектори, рівні нулю. У псевдоевклідових просторах ізотропні вектори існують і утворюють ізотропний конус. А саме, вектор $\xi \ne 0$ векторного простору $E$ над полем $F$ дійсних чи комплексних чисел із заданою як скалярний добуток невиродженою білінійною формою $\mathrm{\Phi }:E\times E\to F$ із сигнатурою $(p,q)$ ізотропний, якщо $\mathrm{\Phi }(\xi ,\xi )=0$.

Пов'язані поняття

Ізотропний конус у просторі ${ℝ}_1^3$

• Ізотропним конусом псевдоевклідового або унітарного векторного простору називають множину, що складається з усіх векторів нульової довжини цього простору, тобто всіх ізотропних векторів і нульового вектора.

• Ізотропний підпростір — підпростір псевдоевклідового або унітарного векторного простору, що повністю міститься в ізотропному конусі цього простору, тобто складається з векторів нульової довжини. Підпростір є ізотропним тоді й лише тоді, коли будь-які два його вектори ортогональні один одному. Максимальна розмірність ізотропного підпростору псевдоевклідового простору сингатури $(p,q)$ не перевершує $\min (p,q)$.

• Вироджений підпростір — підпростір псевдоевклідового або унітарного векторного простору, обмеження скалярного добутку на який вироджене. Підпростір є виродженим тоді й лише тоді, коли він містить хоча б один ізотропний вектор, ортогональний решті векторів цього підпростору. Очевидно, будь-який ізотропний підпростір є виродженим, але не навпаки.

Приклади

Взаємне розташування площини $\mathrm{\Pi }$ та ізотропного конуса у просторі ${ℝ}_1^3$. Зліва направо: площина $\mathrm{\Pi }$ псевдоевклідова, вироджена, евклідова.

• Найпростіший приклад — ізотропні вектори та ізотропний конус у ${ℝ}_1^3$ — псевдоевклідовому просторі сигнатури (2,1). Квадрат довжини вектора $e=(x,y,z)$ задається формулою $|e{|}^2=⟨e,e⟩=x^2+y^2-z^2$. Ізотропний конус — прямий круговий конус $x^2+y^2-z^2=0$. Ізотропні підпростори — прямі (твірні), що лежать на ньому, вироджені підпростори (відмінні від ізотропних) — площини, які дотикаються до ізотропного конуса, тобто мають із ним рівно одну спільну пряму. Решта площин є або евклідовими (якщо перетинаються з ізотропним конусом лише в його вершині), або псевдоевклідовими сигнатури (1,1) (якщо перетинаються з ним по двох різних прямих).

• Важливим прикладом є ізотропні вектори та ізотропний конус у просторі Мінковського ${ℝ}_1^4$ — псевдоевклідовому просторі сигнатури (1,3), що використовується як геометрична інтерпретація простору-часу в спеціальній теорії відносності. У цьому просторі кожен вектор має чотири координати: $e=(ct,x,y,z)$, де $c$ ― швидкість світла, і квадрат його довжини задається формулою $|e{|}^2=⟨e,e⟩=(ct{)}^2-x^2-y^2-z^2$. Ізотропний конус простору Мінковського називають світловим конусом, а ізотропні вектори — світловими або світлоподібними. Вектори, що лежать усередині світлового конуса ($|e{|}^2>0$), називають часоподібними, а вектори, що лежать поза світловим конусом ($|e{|}^2<0$), називають простороподібними.

Література

• Шаблон:Книга
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7).
• Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39.