Блочна матриця

Блочна матриця — матриця, що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.

Приклад

Матриця $P=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 2\\ 1& 1& 2& 2\\ 3& 3& 4& 4\\ 3& 3& 4& 4\end{array}\right)$ складається з наступних блоків (матриць): $P_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),P_{12}=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right),P_{21}=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 3\end{array}\right),P_{22}=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right).$

І може бути записана як блочна матриця

$P=\left(\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right).$

Множення блочних матриць

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1s}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2s}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{q1}& A_{q2}& \cdots & A_{qs}\end{array}\right)$ — матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,

$B=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1r}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{s1}& B_{s2}& \cdots & B_{sr}\end{array}\right)$ — матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

$C=AB$

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

$C_{ij}=\sum _{k=1}^s{A}_{ik}{B}_{kj}.$

Або, використовуючи нотацію Ейнштейна, цю формулу можна записати так:

$C_{ij}=A_{ik}{B}_{kj}.$

Обернена до блочної матриця

Шаблон:See also Нехай A, B, C, D є матрицями розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно і P — наступна блочна матриця:

$P=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$

Якщо Шаблон:Math і доповнення Шура Шаблон:Math для блоку A матриці P є оборотними матрицями, то

$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}+A^{-1}B{(D-C{A}^{-1}B)}^{-1}C{A}^{-1}& -A^{-1}B{(D-C{A}^{-1}B)}^{-1}\\ -{(D-C{A}^{-1}B)}^{-1}C{A}^{-1}& {(D-C{A}^{-1}B)}^{-1}\end{array}\right).$

Якщо Шаблон:Math і доповнення Шура Шаблон:Math для блоку D матриці P є оборотними матрицями, то

$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}& -{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}B{D}^{-1}\\ -D^{-1}C{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}& D^{-1}+D^{-1}C{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}B{D}^{-1}\end{array}\right).$

Якщо наведені вище умови виконуються разом, то

$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}& 0\\ 0& {(D-C{A}^{-1}B)}^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_p& -B{D}^{-1}\\ -C{A}^{-1}& I_q\end{array}\right).$

Визначник блочної матриці

Для блочної матриці, яка складається з чотирьох матриць A, B, C, D розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно, при умові, що одна з матриць B або C нульова, можна вивести формулу визначника, яка схожа на формулу визначника матриці 2×2:

$\det \left(\begin{array}{cc}A& 0\\ C& D\end{array}\right)=\det (A)\det (D)=\det \left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array}\right).$

Якщо A — оборотна матриця, то

$\det \left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\det (A)\det (D-C{A}^{-1}B).$

Якщо D — оборотна матриця, то

$\det \left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\det (D)\det (A-B{D}^{-1}C).$

Тепер нехай всі блоки будуть квадратними матрицями однакового розміру і

$P=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right).$

Якщо A і B комутують, то $\det P=\det (DA-CB).$

Якщо A і C комутують, то $\det P=\det (AD-CB).$

Якщо B і D комутують, то $\det P=\det (DA-BC).$

Якщо C і D комутують, то $\det P=\det (AD-BC).$

Блочні діагональні матриці

Блочна діагональна матриця — це блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки якої також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_n\end{array}\right),$

де A_k — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A₁, …, A_n. Записується A₁ $\oplus$ A₂ $\oplus \dots \oplus$ A_n чи  diag(A₁, A₂,$\dots$, A_n).

Визначник та слід такої матриці мають наступні властивості:

$\det A=\prod _{k=1}^n\det A_k$,

$\mathrm{tr}A=\sum _{k=1}^n\mathrm{tr}{A}_k$.

Блочна діагональна матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли кожен з її блоків на діагоналі є оборотною матрицею, і тоді

${\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_n\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1^{-1}& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2^{-1}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_n^{-1}\end{array}\right).$

Для довільного натурального m буде:

${\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_n\end{array}\right)}^m=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1^m& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2^m& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_n^m\end{array}\right).$

Множина власних векторів блочної матриці збігається з об'єднанням множин власних векторів матриць на її діагоналі. Те саме стосується і власних значень.

Блочна тридіагональна матриця

Блочна тридіагональна матриця - це квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.

Це по-суті тридіагональна матриця, але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

$A=\left(\begin{array}{ccccccc}{B}_1& C_1& & & \cdots & & 0\\ A_2& B_2& C_2& & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & & ⋮\\ & & A_k& B_k& C_k& & \\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & & A_{n-1}& B_{n-1}& C_{n-1}\\ 0& & \cdots & & & A_n& B_n\end{array}\right)$

де A_k, B_k та C_k - квадратні підматриці нижньої, головної та вищої діагоналі відповідно.

Блочні тридіагональні матриці зустрічаються при розв'язанні інженерних задач (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів, яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса, який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.

Пряма сума

Шаблон:Main Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A $\oplus$ B) буде матриця

$A\oplus B=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1q}\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& b_{p1}& \cdots & b_{pq}\end{array}\right).$

Наприклад:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).

Див. також

• Добуток Кронекера
• Жорданова нормальна форма

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Cite web

Примітки

Шаблон:Лінійна алгебра