Добуток Кронекера

Добуток Кронекера — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається $\otimes$. Результатом є блочна матриця.

Добуток Кронекера не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа на честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Визначення

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

$A\otimes B=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right].$

Білінійність, асоціативність та некомутативність

• Добуток Кронекера є частковим випадком тензорного добутку, отже він є білінійним та асоціативним:

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,$

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.

• Добуток Кронекера не є комутативним. Хоча, завжди існують такі матриці перестановки P та Q, що

$A\otimes B=P(B\otimes A)Q.$

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A $\otimes$ B та B $\otimes$ A є перестановочно подібними, тобто, P = Q^T.

$A\otimes B=(I\otimes B)(A\otimes I)$, де $I$ - одинична матриця.

Транспонування

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

$(A\otimes B{)}^T=A^T\otimes B^T.$

Мішаний добуток

• Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.$

• A $\otimes$ B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді

$(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.$

Сума та експонента Кронекера

• Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і $I_k$ — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера $\oplus$, як

$A\oplus B=A\otimes I_m+I_n\otimes B.$

• Також справедливо

$e^{A\oplus B}=e^A\otimes e^B.$

Спектр, слід та визначник

• Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ₁, …, λ_n — власні значення матриці A та μ₁, …, μ_q власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A $\otimes$ B є

${\lambda }_i{\mu }_j,i=1,\dots ,n,j=1,\dots ,q.$

• Слід та визначник добутку Кронекера рівні

$\mathrm{tr}(A\otimes B)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B),$

$\det (A\otimes B)=(\det A{)}^q(\det B{)}^n.$

Сингулярний розклад та ранг

• Якщо матриця A має r_A ненульових сингулярних значень:

${\sigma }_{A,i},i=1,\dots ,r_A.$

Ненульові сингулярні значення матриці B:

${\sigma }_{B,i},i=1,\dots ,r_B.$

Тоді добуток Кронекера A $\otimes$ B має r_Ar_B ненульових сингулярних значень

${\sigma }_{A,i}{\sigma }_{B,j},i=1,\dots ,r_A,j=1,\dots ,r_B.$

• Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже

$\mathrm{rank}(A\otimes B)=\mathrm{rank}(A)\mathrm{rank}(B).$

Блокові версії добутку Кронекера

У випадку блочних матриць можуть використовуватися операції, які пов'язані з добутком Кронекера однак відрізняються порядком перемноження блоків. Такими операціями є добуток Трейсі – Сінгха (Шаблон:Lang-en) і добуток Хатрі-Рао.

Добуток Трейсі-Сінгха

Вказана операція множення блокових матриць полягає в тому, що кожен блок лівої матриці множиться послідовно на блоки правої матриці. При цьому формується структура нової матриці, яка відрізняється від характерної для добутку Кронекера. Добуток Трейсі - Сінгха визначається як

$𝐀\circ 𝐁={({𝐀}_{ij}\circ 𝐁)}_{ij}={\left({({𝐀}_{ij}\otimes {𝐁}_{kl})}_{kl}\right)}_{ij}$

Наприклад:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}_{11}& {𝐀}_{12}\\ {𝐀}_{21}& {𝐀}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right],𝐁=\left[\begin{array}{cc}{𝐁}_{11}& {𝐁}_{12}\\ {𝐁}_{21}& {𝐁}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right],$

$\begin{array}{cc}𝐀\circ 𝐁=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}_{11}\circ 𝐁& {𝐀}_{12}\circ 𝐁\\ {𝐀}_{21}\circ 𝐁& {𝐀}_{22}\circ 𝐁\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cccc}{𝐀}_{11}\otimes {𝐁}_{11}& {𝐀}_{11}\otimes {𝐁}_{12}& {𝐀}_{12}\otimes {𝐁}_{11}& {𝐀}_{12}\otimes {𝐁}_{12}\\ {𝐀}_{11}\otimes {𝐁}_{21}& {𝐀}_{11}\otimes {𝐁}_{22}& {𝐀}_{12}\otimes {𝐁}_{21}& {𝐀}_{12}\otimes {𝐁}_{22}\\ {𝐀}_{21}\otimes {𝐁}_{11}& {𝐀}_{21}\otimes {𝐁}_{12}& {𝐀}_{22}\otimes {𝐁}_{11}& {𝐀}_{22}\otimes {𝐁}_{12}\\ {𝐀}_{21}\otimes {𝐁}_{21}& {𝐀}_{21}\otimes {𝐁}_{22}& {𝐀}_{22}\otimes {𝐁}_{21}& {𝐀}_{22}\otimes {𝐁}_{22}\end{array}\right]\\ =& \left[\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 4& 7& 8& 14& 3& 12& 21\\ 4& 5& 16& 28& 20& 35& 6& 24& 42\\ 2& 4& 5& 8& 10& 16& 6& 15& 24\\ 3& 6& 6& 9& 12& 18& 9& 18& 27\\ 8& 10& 20& 32& 25& 40& 12& 30& 48\\ 12& 15& 24& 36& 30& 45& 18& 36& 54\\ 7& 8& 28& 49& 32& 56& 9& 36& 63\\ 14& 16& 35& 56& 40& 64& 18& 45& 72\\ 21& 24& 42& 63& 48& 72& 27& 54& 81\end{array}\right].\end{array}$

Добуток Хатрі-Рао

Шаблон:Main

Даний варіант добутку визначений для матриц з однаковою блоковою структурою. Він передбачає, що операція кронекерівського добутку виконується поблоково, в межах однойменних матричних блоків за аналогією з поелементним добутком Адамара, тільки при цьому в якості елементів задіяні блоки матриць, а для переноження блоків використовується добуток Кронекера.

Торцевий добуток

Шаблон:Main Властивості мішаних добутків:
$𝐀\otimes (𝐁\bullet 𝐂)=(𝐀\otimes 𝐁)\bullet 𝐂$, де $\bullet$ означає торцевий добуток

$(𝐀\bullet 𝐁)(𝐂\otimes 𝐃)=(𝐀𝐂)\bullet (𝐁𝐃)$,

За аналогією:
$(𝐀\bullet 𝐋)(𝐁\otimes 𝐌)...(𝐂\otimes 𝐒)=(𝐀𝐁...𝐂)\bullet (𝐋𝐌...𝐒)$,

$c^{\mathsf{\text{T}}}\bullet d^{\mathsf{\text{T}}}=c^{\mathsf{\text{T}}}\otimes d^{\mathsf{\text{T}}}$, де $c$ і $d$ - вектори,

$(𝐀\bullet 𝐁)(c\otimes d)=(𝐀c)\circ (𝐁d)$,
Аналогічно:

$(𝐀\bullet 𝐁)(𝐌𝐍c\otimes 𝐐𝐏d)=(𝐀𝐌𝐍c)\circ (𝐁𝐐𝐏d),$

$ℱ(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=(ℱC^{(1)}\bullet ℱC^{(2)})(x\otimes y)=ℱC^{(1)}x\circ ℱC^{(2)}y$,
де $\star$ означає векторну згортку, а $ℱ$ є матрицею дискретного перетворення Фур'є,

$(𝐀\bullet 𝐋)(𝐁\otimes 𝐌)...(𝐂\otimes 𝐒)(𝐊\ast 𝐓)=(𝐀𝐁...𝐂𝐊)\circ (𝐋𝐌...𝐒𝐓)$, де $\ast$ означає стовпцевий добуток Хатрі-Рао

Окрім того:
$(𝐀\bullet 𝐋)(𝐁\otimes 𝐌)...(𝐂\otimes 𝐒)(c\otimes d)=(𝐀𝐁...𝐂c)\circ (𝐋𝐌...𝐒d)$,

$(𝐀\bullet 𝐋)(𝐁\otimes 𝐌)...(𝐂\otimes 𝐒)(𝐏c\otimes 𝐐d)=(𝐀𝐁...𝐂𝐏c)\circ (𝐋𝐌...𝐒𝐐d)$, де $c$ і $d$ - вектори.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Леопольда Кронекера
• Добуток Хатрі-Рао

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз