Доповнення Шура

У лінійній алгебрі і теорії матриць доповнення Шура для блоку матриці (тобто, підматриці в більшій матриці) визначено так. Припустимо A, B, C, D є матриці відповідно p×p, p×q, q×p і q×q, і D оборотна. Нехай

$M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$

так що M — це матриця (p+q)×(p+q).

Тоді доповнення Шура для блоку D матриці M це матриця p×p

$A-B{D}^{-1}C.$

Його назвали на честь Ісаї Шура, який використав його для доведення леми Шура, хоча його використовували і до того.

Підґрунтя

Доповнення Щура виникає як результат застосування методу Гауса щодо блоків через множення на матрицю M на блокову нижньотрикутну матрицю

$L=\left[\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right].$

Тут I_p позначає одиничну матрицю p×p. Після множення на матрицю L доповнення Щура з'являється у горішньому p×p блоку. Матрицю добутку така

$\begin{array}{cc}ML& =\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& B\\ 0& D\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{I}_p& B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& 0\\ 0& D\end{array}\right].\end{array}$

Це аналогічно до LDU-розкладу матриці. Тобто, ми щойно показали, що

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{I}_p& B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& 0\\ 0& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ D^{-1}C& I_q\end{array}\right],\end{array}$

отже, обернена до M можна представити за участю D⁻¹ і оберненого доповнення Щура (якщо воно існує) як

$\begin{array}{cc}& {\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(A-B{D}^{-1}C{)}^{-1}& 0\\ 0& D^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_p& -B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}& -{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}B{D}^{-1}\\ -D^{-1}C{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}& D^{-1}+D^{-1}C{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}B{D}^{-1}\end{array}\right].\end{array}$

Якщо M — симетрична додатноозначена матриця, то й так само буде доповнення Щура для D у M.

Якщо p і q дорівнюють 1 (тоюто A, B, C і D є скалярами), то ми отримуємо формулу для обернення матриці 2-на-2:

$M^{-1}=\frac{1}{AD-BC}\left[\begin{array}{cc}D& -B\\ -C& A\end{array}\right]$

за умови, що AD − BC не нуль.

Більше того, також чітко видно, що визначник M задається формулою

$\det (M)=\det (D)\det (A-B{D}^{-1}C)$

яка узагальнює формулу визначника у випадку матриць 2-на-2.

Умови на додатню визначеність і додатню напіввизначеність

Нехай X — це симетрична матриця задана так

$X=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B^T& C\end{array}\right].$

Нехай X/A буде доповненням Щура для A в X, тобто

$X/A=C-B^T{A}^{-1}B,$

і X/C буде доповненням Щура для C в X, тобто

$X/C=A-B{C}^{-1}{B}^T.$

Тоді

• X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли A і X/A додатно визначені:

$X\succ 0\iff A\succ 0,X/A=C-B^T{A}^{-1}B\succ 0$.

• X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли C і X/C додатно визначені:

$X\succ 0\iff C\succ 0,X/C=A-B{C}^{-1}{B}^T\succ 0$.

• Якщо A — додатно визначена, тоді X — додатно напіввизначена тоді і тільки тоді коли X/A є додатно напіввизначеною:

$\text{If}$ $A\succ 0$, $\text{then}$ $X⪰0\iff X/A=C-B^T{A}^{-1}B⪰0$.

• Якщо C є додатно визначеною, тоді X — додатно напіввизначеною тоді і тільки тоді коли X/C є додатно напіввизначеною:

$\text{If}$ $C\succ 0$, $\text{then}$ $X⪰0\iff X/C=A-B{C}^{-1}{B}^T⪰0$.

Перше і третє твердження можна отримати через розгляд мінімізатора величини

$u^{T}Au+2v^T{B}^{T}u+v^{T}Cv,$

як функції від v (для фіксованого u).

Далі, оскільки

$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B^T& C\end{array}\right]\succ 0⟺\left[\begin{array}{cc}C& B^T\\ B& A\end{array}\right]\succ 0$

і подібно для додатно напіввизначених матриць, друге (четверте) твердження негайно випливає з першого (відповідно третього) твердження.

Також існує необхідна і достатня умова на додатню напіввизначенність X в термінах узагальненого доповнення Щура. А саме,

• $X⪰0\iff A⪰0,C-B^T{A}^{g}B⪰0,(I-A{A}^g)B=0$ і
• $X⪰0\iff C⪰0,A-B{C}^g{B}^T⪰0,(I-C{C}^g)B^T=0,$

де $A^g$ позначає узагальнену обернену матрицю для $A$.

Див. також

• Матрична тотожність Вудбурі
• Лема обернення матриці

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць