Формула Єнсена

Формула Єнсена є твердженням у комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної в крузі функції в залежності від модулів нулів цієї функції. Твердження є важливим зокрема при вивченні цілих функцій.

Твердження

Нехай $f$ є голоморфною функцією в області комплексної площини, що містить замкнутий круг $\overline{D(0,r)}$ з центром 0 і радіусом r і ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_N$ нулі $f$ в $\overline{D(0,r)}$, враховуючи їх кратність. Якщо $f(0)$ не є рівним нулю, то

$\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^N\log \left(\frac{r}{|{\alpha }_k|}\right)+\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |f(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|\mathrm{d}\theta .$

Еквівалентно якщо $n(r)$ позначає кількість нулів функції $f$ строго менших за модулем $r$, то

$\log |f(0)|+\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{n(s)}{s}\mathrm{d}s=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |f(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|\mathrm{d}\theta .$

Доведення

• Припустимо спершу, що функція $f$ не має нулів у $\overline{D(0,r)}$. У цьому випадку вона не має нулів у $D(0,r+\epsilon )$ для деякого малого $\epsilon$. Оскільки $D(0,r+\epsilon )$ є однозв'язною і $f$ не є рівною нулю, то існує функція $g$, що є голоморфною в $D(0,r+\epsilon )$, така що $f=e^g$. Тому функція $\log (|f|)=\mathrm{R}\mathrm{e}(g)$, дійсна частина голоморфної функції, є гармонічною в $D(0,r+\epsilon )$. Зокрема вона є гармонічною в $D(0,r)$ і неперервною в $\overline{D(0,r)}$. Згідно властивості середнього значення:$\log (|f(0)|)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|f(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|)\mathrm{d}\theta .$Це завершує першу частину доведення.
• Припустимо що функція $f$ має нулі в $\overline{D(0,r)}$, пронумеровані в такий спосіб: :$|{\alpha }_1|\le \dots \le |{\alpha }_m|<r,|{\alpha }_{m+1}|=\dots =|{\alpha }_N|=r.$Позначимо$g(z)=f(z)\times \prod _{n=1}^m\frac{r^2-\overline{{\alpha }_n}z}{r({\alpha }_n-z)}\times \prod _{n=m+1}^N\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_n-z}.$Функція $g$ є голоморфною в $D(0,r+\epsilon )$ і не рівною нулю в $\overline{D(0,r)}$. Згідно першої частини доведення: $\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|g(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|)\mathrm{d}\theta =\log (|g(0)|)=\log (|f(0)|)+\sum _{n=1}^N\log \left(\left|\frac{r}{{\alpha }_n}\right|\right).$ Тому для завершення доведення достатньо показати, що $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|g(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|)\mathrm{d}\theta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|f(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|)\mathrm{d}\theta$. Оскільки $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|g(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|)\mathrm{d}\theta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|f(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|)\mathrm{d}\theta +\sum _{n=1}^m\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (1)\mathrm{d}\theta -\sum _{n=m+1}^N\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log \left(|1-e^{\mathrm{i}\theta }\overline{{\alpha }_n}/r|\right)\mathrm{d}\theta$ і, позначивши ${\alpha }_n=r{e}^{\mathrm{i}{\theta }_n}$ отримуємо:$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log \left(|1-e^{\mathrm{i}\theta }\overline{{\alpha }_n}/r|\right)\mathrm{d}\theta =\underset{-{\theta }_n}{\overset{2\pi -{\theta }_n}{\int }}\log (|1-e^{\mathrm{i}u}|)\mathrm{d}u=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|1-e^{\mathrm{i}v}|)\mathrm{d}v=0$тож$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|g(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|)\mathrm{d}\theta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|f(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|)\mathrm{d}\theta ,$, що завершує доведення.

Застосування

• Фундаментальна теорема алгебри

Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня $k$ має $k$ коренів, враховуючи кратність.

Для теореми існує кілька доведень з використанням ідей комплексного аналізу. Зокрема для доведення можна використати формулу Єнсена.

Нехай маємо многочлен $P(X)=a_0+a_{1}X+\dots +a_k{X}^k$ де $a_k$ не дорівнює нулю. Припустимо також, що $a_0$ не дорівнює нулю. Відображення $z\mapsto P(z)$ є цілою функцією (тобто голоморфною в $ℂ$). Для великих за модулем комплексних чисел маємо $P(z)\sim a_k{z}^k$. Згідно з класичними методами порівняння розбіжних інтегралів маємо:

$\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |P(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|\mathrm{d}\theta \sim k\log r.$

Многочлен степеня $k$ в $ℂ$ має щонайбільше k комплексних коренів, враховуючи кратність. Тоді кількість коренів у крузі $n(r)$ для достатньо великих $r$ є константою, рівною кількості коренів многочлена $n_0$. Згідно з формулою Єнсена

$\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |P(r{e}^{\mathrm{i}\theta })|\mathrm{d}\theta =\log |P(0)|+\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{n(s)}{s}\mathrm{d}s=n_0\log r+\text{Constante}.$

Після порівняння двох еквівалентностей $n_0=k$. Тобто многочлен $P$ має $k$ коренів, враховуючи кратність.

• Формула Єнсена використовується для оцінення кількості нулів голоморфних функцій. А саме, якщо f є голоморфною в крузі радіуса R з центром у точці z₀ і якщо |f| є обмеженою числом M на межі круга, тоді кількість нулів f у крузі радіуса r<R з центром у цій же точці z₀ не перевищує

$\frac{1}{\log (R/r)}\log \frac{M}{|f(z_0)|}.$

Формула Єнсена є важливою у вивченні розподілу значень цілих і мероморфних функцій, зокрема теорії Неванлінни.

• Формула Єнсена для многочленів однієї змінної дозволяє обчислити міру Малера многочлена, тобто добуток коренів многочлена з модулем більшим 1.

Узагальнення

Мероморфні функції

Формулу Єнсена можна узагальнити для мероморфних функцій у $D$. Припустимо, що

$f(z)=z^l\frac{g(z)}{h(z)},$

де g і h є голоморфними у $D$, з нулями у точках $a_1,\dots ,a_n\in 𝔻\mathrm{\setminus }\{0\}$ і $b_1,\dots ,b_m\in 𝔻\mathrm{\setminus }\{0\}$ відповідно. Формула Єнсена для мероморфних функцій має вид

$\log \left|\frac{g(0)}{h(0)}\right|=\log \left|r^{m-n}\frac{a_1\dots a_n}{b_1\dots b_m}\right|+\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |f(r{e}^{i\theta })|d\theta .$

Формула Пуассона — Єнсена

Формула Єнсена є наслідком більш загальної формули Пуассона — Єнсена, яка натомість випливає з формули Єнсена за допомогою перетворення Мебіуса застосованого до z. Цю формулу вперше вивів Рольф Неванлінна. Якщо функція f є голоморфою в одиничному крузі, з нулями a₁, a₂, ..., a_n розміщеними всередині одиничного круга, то для кожного $z_0=r_0{e}^{i{\phi }_0}$ в одиничному крузі формула Пуассона — Єнсена має вигляд

$\log |f(z_0)|=\sum _{k=1}^n\log \left|\frac{z_0-a_k}{1-{\overline{a}}_k{z}_0}\right|+\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{P}_{r_0}({\phi }_0-\theta )\log |f(e^{i\theta })|d\theta .$

Тут,

$P_r(\omega )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{r}^{|n|}{e}^{in\omega }$

є ядром Пуассона в одиничному крузі. Якщо функція f не має нулів в одиничному крузі, то формула Пуассона — Єнсена зводиться до

$\log |f(z_0)|=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{P}_{r_0}({\phi }_0-\theta )\log |f(e^{i\theta })|d\theta ,$

тобто до інтегральної формули Пуассона для гармонічної функції $\log |f(z)|$.

Література

• Шаблон:Citation