Формальний степеневий ряд

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,$

в якому коефіцієнти $a_n$ належать деякому кільцю $R$. На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Вступ

Формальний степеневий ряд можна уявити як об'єкт, схожий на поліном, але з нескінченною кількістю членів. Як альтернативу, для тих, хто знайомий зі степеневими рядами (або рядами Тейлора), можна розглядати формальний степеневий ряд як степеневий ряд, у якому ми ігноруємо питання збіжності, не припускаючи, що змінна X позначає будь-яке числове значення (навіть невідоме). Наприклад, розглянемо ряд

$A=1-3X+5X^2-7X^3+9X^4-11X^5+\cdots .$

Якби ми вивчали це як степеневий ряд, то до його властивостей, наприклад, входило б те, що його радіус збіжності дорівнює 1. Однак, як формальний степеневий ряд, ми можемо зовсім це ігнорувати; все, що має значення, це послідовність коефіцієнтів [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Іншими словами, формальний степеневий ряд - це об'єкт, що просто записує послідовність коефіцієнтів. Цілком прийнятно розглядати формальний степеневий ряд з факторіалами [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] в якості коефіцієнтів, навіть якщо відповідний степеневий ряд розходиться при будь-якому ненульовому значенні X.

Арифметичні дії над формальними степеневими рядами виконуються, просто уявляючи, що ряди є поліномами. Наприклад, якщо

$B=2X+4X^3+6X^5+\cdots ,$

то ми додаємо A і B почленно:

$A+B=1-X+5X^2-3X^3+9X^4-5X^5+\cdots .$

Ми можемо перемножити формальні степеневі ряди, знову ж таки, просто обробляючи їх як поліноми (дивіться, зокрема, добуток Коші):

$AB=2X-6X^2+14X^3-26X^4+44X^5+\cdots .$

Зверніть увагу, що кожен коефіцієнт у добутку AB залежить лише від скінченної кількості коефіцієнтів A та B. Наприклад, член X⁵ обчислюється як

$44X^5=(1\times 6X^5)+(5X^2\times 4X^3)+(9X^4\times 2X).$

З цієї причини можна множити формальні степеневі ряди, не турбуючись про звичайні питання абсолютної, умовної та рівномірної збіжності, які виникають при роботі зі степеневими рядами в контексті аналізу.

Після визначення множення для формальних степеневих рядів, ми можемо визначити мультиплікативні обернені наступним чином. Мультиплікативне обернене формального степеневого ряду A є формальний степеневий ряд C такий, що AC = 1, за умови, що такий формальний степеневий ряд існує. Виявляється, що якщо у A є мультиплікативне обернене, воно є унікальним, і ми позначаємо його як A⁻¹. Тепер ми можемо визначити ділення формальних степеневих рядів, визначивши B/A як добуток BA⁻¹, за умови, що обернене A існує. Наприклад, можна використати визначення множення вище, щоб перевірити знайому формулу

$\frac{1}{1+X}=1-X+X^2-X^3+X^4-X^5+\cdots .$

Важливою операцією над формальними степеневими рядами є витяг коефіцієнтів. У найпростішій формі, оператор витягу коефіцієнтів $[X^n]$, застосований до формального степеневого ряду $A$ в одній змінній, витягує коефіцієнт $n$-го ступеня змінної, так що $[X^2]A=5$ та $[X^5]A=-11$. Інші приклади включають

$\begin{array}{cc}\left[X^3\right](B)& =4,\\ \left[X^2\right](X+3X^2{Y}^3+10Y^6)& =3Y^3,\\ \left[X^2{Y}^3\right](X+3X^2{Y}^3+10Y^6)& =3,\\ \left[X^n\right]\left(\frac{1}{1+X}\right)& =(-1{)}^n,\\ \left[X^n\right]\left(\frac{X}{(1-X{)}^2}\right)& =n.\end{array}$

Аналогічно, багато інших операцій, які виконуються над поліномами, можуть бути розширені на налаштування формальних степеневих рядів, як пояснено нижче.

Кільце формальних степеневих рядів

Якщо розглядати множину всіх формальних степеневих рядів в X з коефіцієнтами в комутативному кільці R, то елементи цієї множини разом утворюють інше кільце, яке позначається як $R[[X]],$ і називається кільцем формальних степеневих рядів відносно змінної X над R.

Визначення кільця формальних степеневих рядів

$R[[X]]$ можна характеризувати абстрактно як завершення кільця поліномів $R[X]$, оснащеного певною метрикою. Це автоматично надає $R[[X]]$ структуру топологічного кільця (і навіть повного метричного простору). Але загальне конструювання завершення метричного простору є складнішим, ніж потрібно тут, і зробило б формальні степеневі ряди складнішими, ніж вони є насправді. Можливо описати $R[[X]]$ більш явно і визначити структуру кільця і топологічну структуру окремо, як наступне.

Структура кільця

Як множина, $R[[X]]$ може бути побудована як множина $R^{\mathbb{N}}$ усіх нескінченних послідовностей елементів $R$, індексованих натуральними числами (включаючи 0). Вказуючи послідовність, термін при індексі $n$ якої є $a_n$, як $(a_n)$, додаємо дві такі послідовності за формулою

$(a_n)n\in \mathbb{N}+(b_n)n\in \mathbb{N}={(a_n+b_n)}_{n\in \mathbb{N}}$

і множимо за формулою

$(a_n)n\in \mathbb{N}\times (b_n)n\in \mathbb{N}={\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)}_{!n\in \mathbb{N}}.$

Цей тип добутку називається добуток Коші двох послідовностей коефіцієнтів, і є своєрідною дискретною згорткою. З цими операціями, $R^{\mathbb{N}}$ стає комутативним кільцем з нульовим елементом $(0,0,0,\dots )$ і мультиплікативною одиницею $(1,0,0,\dots )$.

Добуток насправді є тим самим, що використовується для визначення добутку поліномів з однією невизначеною, що натякає на використання подібної нотації. Вбудовуючи $R$ у $R[[X]]$, відправляючи будь-який (постійний) $a\in R$ до послідовності $(a,0,0,\dots )$ і позначаючи послідовність $(0,1,0,0,\dots )$ як $X$; тоді, використовуючи вищезазначені визначення, кожну послідовність з лише скінченною кількістю ненульових термів можна виразити через ці спеціальні елементи як

$(a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n,0,0,\dots )=a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i;$

це саме поліноми в $X$. Враховуючи це, цілком природно і зручно позначати загальну послідовність $(a_n)n\in \mathbb{N}$ формальним виразом $\sum i\in \mathbb{N}{a}_i{X}^i$, хоча останній не є виразом, сформованим за допомогою вищезазначених операцій додавання і множення (з яких можна будувати лише скінченні суми). Ця нотаційна угода дозволяє переформулювати вищезгадані визначення як

$\left(\sum _{i\in \mathbb{N}}{a}_i{X}^i\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb{N}}{b}_i{X}^i\right)=\sum _{i\in \mathbb{N}}(a_i+b_i)X^i$

та

$\left(\sum _{i\in \mathbb{N}}{a}_i{X}^i\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb{N}}{b}_i{X}^i\right)=\sum _{n\in \mathbb{N}}\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)X^n.$

це дуже зручно, але необхідно розуміти різницю між формальним підсумовуванням (просто угодою) та фактичним додаванням.

Алгебраїчні операції

В $R[[X]]$ можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,G(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{X}^n,H(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{X}^n.$

Тоді:

$H=F+G⟺\mathrm{\forall }n{c}_n=a_n+b_n$

$H=F\cdot G⟺\mathrm{\forall }n{c}_n=\sum _{k+l=n}{a}_k{b}_l$

$H=F\circ G⟺\mathrm{\forall }n{c}_n=\sum _{s=1}^n{a}_s\sum _{k_1+\dots +k_s=n}{b}_{k_1}{b}_{k_2}\dots b_{k_s}$ (при цьому необхідно щоб $b_0=0$)

$H=F^{\prime }⟺\mathrm{\forall }n{c}_n=(n+1)a_{n+1}$

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

Топологія

В множині $R[[X]]$ також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

$d((a_n),(b_n))=2^{-k},$

де k найменше натуральне число таке що a_k ≠ b_k;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементи

Формальний ряд:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n$

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a₀ є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний $a_0{b}_0$, і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

$\begin{array}{cc}{b}_0& =\frac{1}{a_0}\\ b_n& =-\frac{1}{a_0}\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{n-i}\text{for }n\ge 1.\end{array}$

Властивості

• Максимальними ідеалами кільця формальних степеневих рядів є ідеали M для яких M ∩ R є максимальним ідеалом в R і M є породжене X і M ∩ R.
• Якщо R є локальним кільцем, то локальним кільцем є також R[[X]]
• R — кільце Нетер, то також R[[X]] є кільцем Нетер .
• Якщо R — область цілісності, то R[[X]] також буде областю цілісності.
• Метричний простір (R[[X]], d) є повним.
• Кільце R[[X]] є компактним тоді коли кільце R є скінченним.

Див. також

• Степеневий ряд
• Генератриса

Посилання

• Формальні степеневі ряди на сайті PlanetMath.