Теорія Редже

Теорія Редже (метод полюсів Редже, метод комплексних кутових моментів) — метод описання та дослідження розсіяння елементарних частинок в квантовій механіці та квантовій теорії поля, що ґрунтується на формальному аналітичному продовженні парціальних амплітуд з області фізичних значень моменту імпульсу $M=\hslash \ell ,\ell =0,1,2,\dots$ в область комплексних значень $\ell$. Метод запровадив італійський фізик Туліо Редже при вивченні аналітичних властивостей квантовомеханічної амплітуди розсіяння.

Суть теорії Редже

Теорія Редже виникла при дослідженні потенціального розсіювання в квантовій механіці. Основна ідея полягала в тому, що квантові числа кутового моменту в загальному випадку можуть набувати комплексних значень, тоді парціальну амплітуду $a_{\ell }(k)$ інтерполюють до функції $a(\ell ,k)$, яка для цілих значень $\ell$ збігається з $a_{\ell }(k)$. Для певного типу потенціалів (наприклад, юкавського потенціалу) сингулярності $a(\ell ,k)$ виявляються простими полюсами (полюси Редже), що змінюють місце знаходження в комплексній площині кутового моменту зі зміною енергії. Їхнє розташування визначається зі співвідношення $\ell =\alpha (k),$ де $\alpha (k)$ — функція енергії, що називається траєкторією Редже (може бути представлена як функція кінематичних змінних Мандельштама, $s,t,u$). Кожній сім'ї резонансів, а також набору зв'язаних станів відповідає одна траєкторія Редже. Ідея Редже було успішно розвинуто в рамках фізики високих енергій.

Зокрема, при певних не дуже великих $t$, де $\alpha (t)$ дійсна, цілочисельні значення $\alpha (t)$ відповідають стабільним зв'язаним станам. При великих $t$, що перевищують границю суцільного спектру (кінетична енергія частинки додатня), функція $\alpha (t)$ стає комплексною: $\alpha (t)=\text{Re }\alpha (t)+i\text{Im }\alpha (t)$. Тоді дійсна частина продовжує визначати положення тепер вже резонансного рівня, а уявна частина пропорційна повній ширині рівня, тобто визначає час життя резонансу.

У теорії $S$-матриці немає рівняння Шредінгера, тож не можна отримати амплітуду розсіяння таким шляхом, як у квантовій механіці, звідки безпосередньо можна було б вивчати її аналітичні властивості. Отже, існування полюсів Редже насправді є припущенням, але це припущення дозволяє розв'язувати деякі проблеми теорії і, що найголовніше, підтверджується великою кількістю феноменологічних спостережень.

Якщо застосовувати ідею Редже до теорії релятивістської $S$-матриці, можна показати, зробивши ряд припущень, що релятивістську парціальну амплітуду $A_{\ell }(t)$ можна аналітично продовжити до комплексних значень $\ell$ і при тому єдиним способом. Отримана функція $A(\ell ,t)$ має прості полюси (першопочаткове припущення) при $\ell =\alpha (t).$ Кожен полюс дає внесок в амплітуду розсіяння, який асимптотично ($s\to \mathrm{\infty }$ при фіксованому $t$) поводиться як

$$A(s,t){\sim }_{s\to \mathrm{\infty }}{s}^{\alpha (t)}.$$

Тобто сингулярність, що має найбільшу дійсну частину (основна сингулярність) в $t$-каналі визначає асимптотичне поводження амплітуди розсіяння в $s$-каналі. Насправді, в теорії Редже, що застосовується в теорії $S$-матриці, вигляд сингулярностей складніший, аніж прості полюси (наприклад, наявність таких сингулярностей, як розрізи, які значно ускладнюють теорію Редже).

Кросинг

Основним принципом кросингу є те, що з однієї і тієї ж функції $A(s,t)$ аналітично продовженої в три фізичні області значень кінематичних змінних отримується амплітуда розсіяння для відповідної області, де $s,t,u$ пов'язані як $$s+t+u=\sum _{i=1}^4{m}_i^2.$$Таке твердження виявляється правильним для діаграм Фейнмана, де, наприклад, для реакцій $e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-}$ і $e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$ для опису використовується одна і та ж діаграма Фейнмана. Кросингова симетрія є наслідком аналітичних властивостей амплітуди. Припустімо, що є процес

$$a+b\to c+d,$$амплітуду можна записати у вигляді $A_{a+b\to c+d}(s,t,u)$, лишаючи $u$  для симетрії, але пам'ятаючи, що вона не є незалежною змінною. Фізичною областю для вищенаписаного процесу є область, де $s>\max \{(m_a+m_b{)}^2,(m_c+m_d{)}^2\}$. В загальному випадку основна частина фізичної області по $t$ і $u$ має обмеження $t,u<0$. Амплітуда може бути аналітично проджена в область $t>\max \{(m_a+m_{\overline{c}}{)}^2,(m_{\overline{b}}+m_d{)}^2\}$ і $s,u<0$, в такій області матимемо амплітуду для процесу в $t$-каналі$$a+\overline{c}\to \overline{b}+d,$$де $\overline{c}$ і $\overline{b}$ античастинки відповідно для $b$ і $c$. Таким чином, для амплітуд існуватиме рівність

$$A_{a+b\to c+d}(s,t,u)=A_{a+\overline{c}\to \overline{b}+d}(t,s,u).$$

Полюси Редже в квантовій механіці

У квантовій механіці теорія Редже застосовна тільки до певного класу потенціалів, до них є дві умови:

$$r^{2}U(r){\to }_{r\to 0}0;rU(r){\to }_{r\to \mathrm{\infty }}0.$$Тоді парціальна амплітуда, продовжена в комплексну площину кутового моменту, запишеться так

$$a(\ell ,k)=\frac{e^{i\pi \ell }g(\ell ,k)-g(\ell ,-k)}{2ikg(\ell ,-k)},$$

де $g(\ell ,k)$ так звана функція Йоста. Важливий клас потенціалів, що мають вищезазначені властивості записується у вигляді узагальненого потенціалу Юкави

$$U(r)=\underset{m}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}c(\mu )e^{-\mu r}d\mu .$$ Для $c(\mu )=C=\text{const}$ цей потенціал збігається з потенціалом Юкави в його початковій формі, яку використовував Юкава $$U(r)=C\frac{e^{-\mu r}}{r}.$$ Амплітуда розсіяння в борнівському наближенні, що відповідає цьому потенціалу, має вигляд $f(q)\sim \frac{1}{t-m^2},$, в якій $t=-q^2=-({\mathbf{\text{k}}}^{\prime }-\mathbf{\text{k}}{)}^2$ і яка подібна на амплітуду обміну скалярним мезоном. Таким чином, взаємодія при потенціалах юкавського типу має схожість із взаємодією в теорії $S$-матриці.

Функції Йоста мають такі аналітичні властивості : перше — для $\text{Re }\ell >-1/2$ сингулярностями $a(\ell ,k)$ як функції $\ell$ є скінченна кількість простих полюсів, друге — амплітуда $a(\ell ,k)$ прямує експоненціально до нуля при $|\ell |\to \mathrm{\infty }$, коли $\text{Re }\ell >-1/2.$.

Таким чином, задовольняються всі умови щодо аналітичного продовження функції $a(\ell ,k)$ , яку до того ж може бути продовжено єдиним способом. Далі можна отримати представлення Ватсона-Зомерфельда для $|\cos \theta |\to \mathrm{\infty }$ і фіксованої енергії $k$, амплітуда розсіяння поводиться як

$$f(k,\theta ){\sim }_{|\cos \theta |\to \mathrm{\infty }}-\beta (k)\frac{(-\cos \theta {)}^{\alpha (k)}}{\sin \pi \alpha (k)},$$де $\alpha (k)$ — це домінантна траєкторія Редже, $\beta (k)$ — лишок полюсу Редже, $\cos \theta =1+\frac{2t}{s-4m^2}.$ Зрозуміло, що вираз $|\cos \theta |\to \mathrm{\infty }$ не має сенсу, а вивід має тільки демонстративне значення, але в релятивістській теорії ця умова може бути записана як $|t|\to \mathrm{\infty }$, а вона вже має фізичний зміст.

За наявності обмінної взаємодії у виразі для амплітуди з'являється множник $(-1{)}^{\ell }$. У цьому випадку умова можливості аналітичного продовження не задовольняється, оскільки при $|\ell |\to \mathrm{\infty }$ цей множник вносить розбіжність в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна зняти, якщо ввести ще одне додаткове квантове число — сигнатуру.

У квантовій механіці множник $(-1{)}^{\ell }$ з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди.

Полюси Редже в релятивістській квантовій теорії

Можна показати, що для парціальної амплітуди для випадку релятивистської квантової теорії можливе представлення Фруассара-Грибова, вводячи нове квантове число — сигнатуру, яка приймає два значення $\xi =\pm 1$, можна переписати амплітуду із визначеною сигнатурою, що має «гарну» поведінку при $\ell \to \mathrm{\infty }$:

$$A^{\xi }(z_t,t)=-\sum _{i_{\xi }}\pi (2{\alpha }_{i_{\xi }}(s)+1){\beta }_{i_{\xi }}(s)\frac{P_{{\alpha }_{i_{\xi }}}(-z_t)}{\sin \pi {\alpha }_{i_{\xi }}}-\frac{1}{2i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}(2\ell +1)A^{\xi }(\ell ,s)\frac{P_{\ell }(-z_t)}{\sin \pi \ell }d\ell ,$$

де сумування по полюсах із визначеною сигнатурою і $z_t\equiv \cos {\theta }_t=1+\frac{2s}{t-4m^2}.$ Повна амплітуда тоді

$$A(z_t,t)=-\sum _{\xi =\pm 1}\sum _{i_{\xi }}\frac{1+\xi e^{-i\pi \ell }}{2}\pi (2{\alpha }_{i_{\xi }}(s)+1){\beta }_{i_{\xi }}(s)\frac{P_{{\alpha }_{i_{\xi }}}(-z_t)}{\sin \pi {\alpha }_{i_{\xi }}}-\frac{1}{2i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1+\xi e^{-i\pi \ell }}{2}(2\ell +1)A^{\xi }(\ell ,s)\frac{P_{\ell }(-z_t)}{\sin \pi \ell }d\ell ,$$

при великих значеннях $|z_t|$, враховуючи тільки крайній правий полюс, $$A(s,t){\sim }_{s\to \mathrm{\infty }}-\beta (t)\frac{1+\xi e^{-i\pi \ell }}{\sin \pi \alpha (t)}{s}^{\alpha (t)},$$ що збігається з основним виразом для полюсу домінантного вкладу в амплітуди розсіяння траєкторії Редже $\alpha (t)$ , тільки додатково із сигнатурним множником $(1+\xi e^{-i\pi \ell })$.

Див. також

• Померон
• Одерон

Література

• Ширков Д. В., Свойства траекторий полюсов Редже, «УФН», 1970, т. 102, в. 1
• Коллинз П. Д. Б., Сквайр Э. Дж., Полюса Редже в физике частиц, пер. с англ., М., 1971
• Regge Т., Introduction to complex· orbital momenta, «Nuovo Cim.», 1959, v. 14, p. 951
• R.J. Eden, Regge poles and elementary particles, Rep. Prog. Phys. 34 995—1053 (1971)
• A.C. Irving, R.P. Worden, Regge phenomenology, Phys.Rept. 34, 117—231 (1977)