Теорема косинусів (сферична геометрія)

В сферичній тригонометрії, теорема косинусів (також відома як правило косинусів для сторін) — формули відношення сторін і кутів сферичних трикутників, аналог теореми косинусів в тригонометрії на площині.

Сферичний трикутник

Нехай дана сфера з діаметром 1, сферичний трикутник на сфері визначається трьома великими колами, що поєднують три точки u , v і w на сфері (див. малюнок праворуч). Якщо довжини трьох сторін становлять a (від u' до v), b (від u до w) і c (від v до w), і кут навпроти c є C, тоді (перший) сферична теорема косинусів стверджує:

$\cos (c)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)\cos (C).$

Через те, що це одинична сфера, довжини a, b і c просто дорівнюють кутам (в радіанах) утвореним радіусами сфери проведеними до кінців відповідної сторони (для не одиничної сфери довжини сторін дорівнюють добутку дугового кута на радіус). В особливому випадку, коли $C=\pi /2$, тоді $\cos (C)=0$ і ми отримуємо сферичний аналог теореми Піфагора:

$\cos (c)=\cos (a)\cos (b).$

Різновидом теореми косинусів, друга сферична теорема косинусів, (також відома як правило косинусів для кутів) стверджує:

$\cos (A)=-\cos (B)\cos (C)+\sin (B)\sin (C)\cos (a)$

де A та B це кути протилежні до сторін a і b, відповідно.

Для маленького сферичного трикутника, тобто для маленьких a, b і c, сферична теорема косинусів наближається до теореми косинусів на площині,

$c^2\approx a^2+b^2-2ab\cos (C).$

Помилка в цьому наближенні, може бути обчислена з ряду Тейлора для функцій косинуса та синуса, і становить:

$O(c^4)+O(a^{3}b)+O(a{b}^3).$

Доведення

Доведення може бути побудоване наступним чином. Нехай u, v, і w означають одиничні вектори з центру сфери до кутів трикутника. Тоді, довжини (кути) сторін задаються як скалярні добутки:

$\cos (a)=𝐮\cdot 𝐯$

$\cos (b)=𝐮\cdot 𝐰$

$\cos (c)=𝐯\cdot 𝐰$

Для отримання кута C, нам потрібен дотичні вектори t_a і t_b в u уздовж напрямків сторін a і b, відповідно. Наприклад, дотичний вектор t_a це одиничний вектор перпендикулярний до u в площині u-v, напрямок якого задається компонентом v перпендикулярним до u. Це означає:

${𝐭}_a=\frac{𝐯-𝐮(𝐮\cdot 𝐯)}{|𝐯-𝐮(𝐮\cdot 𝐯)|}=\frac{𝐯-𝐮\cos (a)}{\sin (a)}$.

Аналогічно,

${𝐭}_b=\frac{𝐰-𝐮\cos (b)}{\sin (b)}.$

Тоді кут C отримаємо як:

$\cos (C)={𝐭}_a\cdot {𝐭}_b=\frac{\cos (c)-\cos (a)\cos (b)}{\sin (a)\sin (b)}$

звідки негайно отримуємо теорему косинусів.

Як наслідок легко отримати другу теорему косинусів.

Теорема синусів для тригранного кута

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$.