Теорема Фробеніуса (диференціальна геометрія)

Теоремою Фробеніуса у математиці називають кілька пов'язаних результатів у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними і диференційній геометрії. В своїй загальній формі теорема є одним з основних результатів сучасної диференційної геометрії і має також застосування в диференційній топології і теорії груп Лі.

Твердження для систем диференційних рівнянь з частинними похідними

Нехай U — відкрита підмножина в ${ℝ}^p$, V — відкрита підмножина в ${ℝ}^{n-p}$, і для всіх $1\le k\le n-p,1\le h\le p$, функції $B_h^k:U\times V\to ℝ$ належать класу $C^r$ ($1\le r\le +\mathrm{\infty }$). Тоді можна розглянути систему рівнянь з частинними похідними, яку також називають «системою Пфаффа»

(*)::$\frac{\partial v^k}{\partial x^h}=B_h^k(x^1,...,x^p,v^1,...,v^{n-p})(1\le k\le n-p,1\le h\le p),$ де $v^k=v^k(x^1,...,x^p).$ Позначимо $x=(x^1,...,x^p)$ і $v=(v^1,...,v^{n-p}).$

Система (*) називається інтегровною, якщо для кожної точки $(x_0,v_0)\in U\times V$ існують окіл $S\subset U$ точки $x_0$, окіл $T\subset V$ точки $v_0$ і єдині функції $v(x)=(v^1(x),...,v^{n-p}(x))$ для яких виконуються умови:

1. $v(x_0)=v_0$
2. $v(S)=T$
3. $\mathrm{\forall }s\in S$ справедлива система рівнянь (*).

Теорема Фробеніуса стверджує, що система рівнянь (*) є інтегровною на $U\times V$ якщо в кожній точці цієї множини виконуються рівності:

$\frac{\partial B_h^k}{\partial x^l}+\sum _{j=1}^{n-p}\frac{\partial B_h^k}{\partial v^j}{B}_l^j=\frac{\partial B_l^k}{\partial x^h}+\sum _{j=1}^{n-p}\frac{\partial B_l^k}{\partial v^j}{B}_h^j$

$(1\le k\le n-p,1\le l\le p,1\le h\le p).$

Формулювання теореми в диференціальній геометрії

Нехай $M$ — гладкий многовид. p-вимірним розподілом на цьому многовиді називається відображення $\mathrm{\Delta }:M\ni y\mapsto {\mathrm{\Delta }}_y$ де образ відображення ${\mathrm{\Delta }}_y$ є підпростором розмірності p дотичного простору $T_y\left(M\right)$ многовиду M в точці y. Розподіл належить класу $C^{\mathrm{\infty }}$ якщо для кожної точки $x\in M$, існує окіл U точки y і векторні поля $X_1,...,X_p$ класу $C^{\mathrm{\infty }}$ на U такі що $X_1(y),...,X_p(y)$ є базисом простору ${\mathrm{\Delta }}_y$ для всіх $y\in U.$ Векторне поле X класу $C^{\mathrm{\infty }}$ належить розподілу $\mathrm{\Delta }$ якщо $X(y)\in {\mathrm{\Delta }}_y$ для всіх $y\in M.$ Розподіл називають інволютивним, якщо для довільних векторних полів $X_1,X_2\in \mathrm{\Delta }$ класу $C^{\mathrm{\infty }}$ справедливо також $[X_1,X_2]\in \mathrm{\Delta }.$

Теорема Фробеніуса стверджує, що p-вимірний розподіл $\mathrm{\Delta }$ є інволютивним тоді й лише тоді коли для кожної точки $y\in M$ існує координатний окіл U точки y з координатними функціями $x_1,...,x_n$ такий, що для кожної точки $r\in U$ вектори $\frac{\partial }{\partial x_1},...,\frac{\partial }{\partial x_p}$ утворюють базис простору ${\mathrm{\Delta }}_r.$

Множини де $x_{p+1},...,x_n=const$ у координатах визначених в теоремі очевидно будуть підмноговидами в U для яких $\mathrm{\Delta }$ у відповідній області визначення є дотичним розшаруванням. Кожен такий многовид називається інтегральним многовидом для $\mathrm{\Delta }.$

Доведення

Якщо p-вимірний розподіл $\mathrm{\Delta }$ у кожній точці $x\in M$ є дотичним простором підмноговиду виду $x_{p+1},...,x_n=const$ для деякої системи координат в околі точки, то очевидно цей розподіл є інволютивним адже дужка Лі двох дотичних векторів для підмноговиду теж буде дотичним вектором для підмноговиду.

Обернене твердження можна довести за індукцією. Для випадку $p=1$ розподіл є автоматично інволютивним адже локально у цьому випадку розподіл задається векторним полем $X$ і векторні поля, що належать одновимірному розподілу локально мають вигляд $fX$ і $gX$ для диференційовних функцій $f,g.$ Тоді:

$[fX,gX](h)=(fX)(gXh)-(gX)(fXh)=f\cdot Xg\cdot Xh+fg\cdot XXh-g\cdot Xf\cdot Xh-fg\cdot XXh=(f\cdot Xg-g\cdot Xf)\cdot Xh$

тобто $[fX,gX]=(f\cdot Xg-g\cdot Xf)\cdot X$і дужка Лі належить одновимірному розподілу.

Випадок p = 1

Нехай $X$ є векторним полем в околі точки $x\in M$ і дотичний вектор $X_x$ у цій точці не є рівним нулю. Тоді існує координатний окіл із координатами $x_1,...,x_n$ для точки $x$ для якого $\frac{\partial }{\partial x_1}$ є рівним $X$.

Нехай в околі $U$ точки $x\in M$ задані координатні функції $y_1,...,y_n$ індуковані відображенням $\phi$ околу на відкриту кулю $B(0,s)\subset {ℝ}^n$ із центром на початку координат і радіусом $s.$ При цьому координати завжди можна вибрати так, що $y_1(x)=y_2(x)=\dots =y_n(x)=0$ і $\frac{\partial }{\partial y_1}(x)=X_x.$ Векторне поле $X$ у околі $U$ є рівним $X=\sum _{i=1}^n{a}_i\frac{\partial }{\partial y_i},$ де функції $a_i\in C^{\mathrm{\infty }}(U).$ За побудовою $a_1(x)=1>0$ і тому зменшивши при потребі $U$ можна вважати, що $a_1>0$ в усьому околі $U.$

Розглянемо диференціальні рівняння для інтегральних кривих для векторного поля $X$ у цих координатах. Рівняння задаються як:

$\frac{\partial y_i}{\partial t}=a_i(y_1(t),\dots ,y_n(t)),1=1,\dots ,n.$

Згідно теореми Пікара — Лінделефа для кожної точки $b\in \overline{B}(0,r)$ — замкнутій кулі із радіусом $r<s$ існує деякий проміжок $t_{-}<0<t_{+}$ і відображення $F_b(t):(t_{-},t_{+})\to {ℝ}^n$ такі, що $F_b(0)=b$ і координатні функції відображення $F_b(t)$ на проміжку $t_{-}<t<t_{+}$ є розв'язками системи диференціальних рівнянь (відповідно ${\phi }^{-1}(F_b(t))$ є інтегральною кривою для векторного поля $X$) із початковою умовою $F_b(0)=b$. Якщо вибрати для кожного $b\in \overline{B}(0,r)$ максимальний можливий проміжок $(t_{-},t_{+}),$ то $t_{-}$ буде напівнеперервною зверху, а $t_{+}$ — напівнеперервною знизу функціями від $b.$ Із властивостей напівнеперервних функцій $t_{+}$ досягає свого мінімуму, $t_{-}$ свого максимуму компактній множині $\overline{B}(0,r)$. Згідно теореми Пікара — Лінделефа $0<\min t_{+}$ і $\max t_{-}<0$. Позначимо тепер $\overline{t}=\min (\min t_{+},\max t_{-}).$ Тоді, оскільки розв'язки диференціальних рівнянь неперервно залежать від початкових умов, одержується відображення $F(t,x_1,\dots ,x_n):(-\overline{t},\overline{t})\times \overline{B}(0,r)\to \overline{B}(0,s)$ для якого $F(0,x_1,\dots ,x_n)=(x_1,\dots ,x_n)\in \overline{B}(0,r)$і для кожного конкретного $(x_1,\dots ,x_n)\in \overline{B}(0,r)$відображення $F(t,x_1,\dots ,x_n),t\in (-\overline{t},\overline{t})$ є розв'язком системи диференціальних рівнянь із відповідною початковою умовою.

Розглянемо тепер відображення $G:[-\overline{t},\overline{t}]\times {\overline{B}}_1(0,r)\to U\subset M,$ (де куля ${\overline{B}}_1(0,r)\subset {ℝ}^{n-1}$ має розмірність на 1 меншу, ніж $\overline{B}(0,r)$), задане як $G(t,x_2,\dots ,x_n)={\phi }^{-1}(F(t,0,x_2,\dots ,x_n)).$ Для фіксованих $(x_2,\dots ,x_n)$ образом $G(t,x_2,\dots ,x_n)$ є інтегральні криві, тобто $\mathrm{d}G\left(\frac{\partial }{\partial t}\right)=X.$ Зокрема $\mathrm{d}G\left(\frac{\partial }{\partial t}\right)(0,\dots ,0)=\frac{\partial }{\partial y_1}(x)=X_x.$ Також для $t=0$ відображення $G(0,x_2,\dots ,x_n)={\phi }^{-1}(0,x_2,\dots ,x_n)$ і тому у цих точках $\mathrm{d}G\left(\frac{\partial }{\partial x_i}\right)=\frac{\partial }{\partial y_i},i\in 2,\dots ,n.$

Відповідно у точці $(0,\dots ,0)$ диференціал $\mathrm{d}{G}_{(0,\dots ,0)}$ є рівним диференціалу $\mathrm{d}({\phi }^{-1}{)}_{(0,\dots ,0)}$, зокрема $\mathrm{d}{G}_{(0,\dots ,0)}$ є невиродженим і з теореми про обернене відображення випливає, що в деякому околі $(0,\dots ,0)$ відображення $G$ є дифеоморфізмом. Тоді $G^{-1}$ є координатним відображення у деякому околі $V$ точки $x$ і з побудови координатні лінії для перших координат будуть інтегральними кривими для $X$, тобто $\frac{\partial }{\partial x_1}=X,$ що завершує доведення у цьому випадку.

Крок індукції

Припустимо, що твердження є доведеним для всіх чисел менших p. Нехай $X_1,\dots ,X_p$ є векторними полями, що в кожній точці деякого околу $U_1$ точки $x\in M$ утворюють базис розподілу $\mathrm{\Delta }$. Згідно попереднього у деякому околі $x\in U_2\subset U_1$ можна підібрати координати так, щоб $\frac{\partial }{\partial y_1}=X_1$ і всі координати точки $x$ були нульовими.

Розглянемо розподіл $\overline{\mathrm{\Delta }}$ який у точках $u\in U_2$ заданий як ${\overline{\mathrm{\Delta }}}_u=\{X_u\in {\mathrm{\Delta }}_u:X_u{y}_1=0\}.$ Цей розподіл є розподілом класу $C^{\mathrm{\infty }}$ і розмірності p-1 на $U_2$ оскільки векторні поля $Y_i=X_i-(X_i{y}_1)X_1,i\in 2,\dots ,p$ утворюють його базис на $U_2$. Також якщо $Y,Z\in \overline{\mathrm{\Delta }},$ то $[Y,Z]y_1=Y(Z{y}_1)-Z(Y{y}_1)=0,$ тож $\overline{\mathrm{\Delta }}$ є інволютивним.

Позначимо $V_0$ — шар у $U_2$ для якого $y_1=0.$ Тоді у точках $v\in V_0$ розподіл ${\overline{\mathrm{\Delta }}}_v$ є підмножиною дотичного простору $(V_0{)}_v$ і з припущення індукції на деякому околі $V_1\subset V_0$ (що містить точку $x$) існує система координат $z_2,...,z_n$ така, що $\frac{\partial }{\partial z_2},...,\frac{\partial }{\partial z_p}$ утворюють базис $\overline{\mathrm{\Delta }}$ на $V_1.$

Нехай тепер $\pi :U_2\to V_0$ є відображенням, що переводить точку із координатами $(y_1,\dots ,y_n)$ у точку із координатами $(0,y_2,\dots ,y_n)$ і $U_3={\pi }^{-1}(V_1).$ На $U_3$ можна ввести функції $x_1=y_1,x_2=z_2\circ \pi ,\dots ,x_n=z_n\circ \pi .$ У точці $x$ дотичний вектор ${\left(\frac{\partial }{\partial x_1}\right)}_x$ є рівним дотичному вектору ${\left(\frac{\partial }{\partial y_1}\right)}_x$, а дотичні вектори ${\left(\frac{\partial }{\partial x_2}\right)}_x,...,{\left(\frac{\partial }{\partial x_n}\right)}_x$ утворюють базис дотичного простору до $V_0$ у цій точці. Тому у деякому околі $x\in U\subset U_3$ функції $(x_1,\dots ,x_n)$ утворюють систему координат.

Для того щоб довести, що $\frac{\partial }{\partial x_1},...,\frac{\partial }{\partial x_n}$ утворюють базис $\overline{\mathrm{\Delta }}$ на $U$ достатньо довести, що їх лінійна оболонка є рівною лінійній оболонці векторних полів $Y_1=X_1,Y_2,\dots ,Y_p$. Для цього достатньо показати, що $Y_i{x}_j=0,i\in 1,\dots ,p,j\in p+1,\dots ,n.$ Оскільки $Y_1=X_1=\frac{\partial }{\partial y_1}=\frac{\partial }{\partial x_1},$ то $Y_1{x}_j=0,j>1.$ Оскільки розподіл є інволютивним, то для $i,k\in 1,\dots ,p$ існують диференційовні функції ${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^r$ для яких $[Y_i,Y_k]=\sum _{r=1}^p{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^r{Y}_r.$ Тому для $i\in 2,\dots ,p$ і $j>p$ маємо $Y_1(Y_i{x}_j)=[Y_1,Y_i]x_j=\sum _{r=2}^p{\mathrm{\Gamma }}_{1i}^r{Y}_r{x}_j,$ тобто $Y_i{x}_j$ задовольняють систему лінійних однорідних диференціальних рівнянь вздовж довільної координатної кривої $x_1$. Але для $x_1=0$ інші координати $x_i=z_i$ і згідно вибору координат $z_i$ на $V_0$ також $Y_i{x}_j=Y_i{z}_j=0,j>p.$ Тому початкові умови для $Y_i{x}_j$ є нульовими і з єдиності розв'язків системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь випливає, що $Y_i{x}_j=0$ всюди у $U$ для $Y_i{x}_j=0,i\in 1,\dots ,p,j\in p+1,\dots ,n,$ тобто координатна система задовольняє умови теореми в околі $U.$

Див. також

• Розподіл (диференціальна геометрія)
• Шарування

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en