Теорема Радона — Нікодима

Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри.

Формулювання

Нехай $(X,ℱ,\mu )$ — простір з мірою і міра $\mu$ є $\sigma$-скінченною. Тоді якщо міра $\nu :ℱ\to ℝ$ є абсолютно неперервною відносно $\mu$ $(\nu \ll \mu )$, то існує вимірна функція $f:X\to ℝ$, така що

$\nu (A)=\underset{A}{\int }f(x)\mu (dx),\mathrm{\forall }A\in ℱ,$

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега. Якщо $g$ є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то $f=g$ Шаблон:Nowrap.

Для зарядів і комплексних мір

Нехай $(X,ℱ,\mu )$ — простір з мірою і міра $\mu$ є $\sigma$-скінченною і $\nu$ є [[Сигма-адитивність|Шаблон:Mvar-адитивним]] зарядом або комплексною мірою і $\nu \ll \mu ,$ тобто $\nu$ є абсолютно неперервним щодо $\mu ,$ то існує $\mu$-вимірна дійсно- чи комплекснозначна функція $f$ на $X$ така, що для кожної вимірної множини $A,$

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu .$

Якщо $g$ є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то $f=g$ Шаблон:Nowrap.

Пов'язані визначення

• Функція $f$, існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри $\nu$ щодо міри $\mu$. Пишуть:

  $f=\frac{d\nu }{d\mu }.$

  • Якщо $(X,ℱ)=({ℝ}^k,ℬ\left({ℝ}^k\right))$ — $k$-вимірний векторний простір з борелівською σ-алгеброю $\nu ={\mathbb{P}}^X$ — розподіл деякої випадкової величини $X$, а $\mu =m$ — міра Лебега на ${ℝ}^k$, то похідна Радона — Нікодима міри ${\mathbb{P}}^X$ щодо міри $m$ називається щільністю розподілу випадкової величини $X$.

Властивості

• Нехай $\lambda ,\mu ,\nu$ — $\sigma$-скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою $(X,ℱ)$. Тоді якщо $\mu \ll \lambda$ і $\nu \ll \lambda$, то

$\frac{d(\mu +\nu )}{d\lambda }=\frac{d\mu }{d\lambda }+\frac{d\nu }{d\lambda }.$

• Нехай $\nu \ll \mu \ll \lambda$. Тоді

$\frac{d\nu }{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\lambda }$ $\lambda$ — майже всюди.

• Нехай $\mu \ll \lambda$ і $g:X\to ℝ$ — вимірна функція, інтегрована щодо міри $\mu$, то

$\underset{X}{\int }g(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }g(x)\frac{d\mu }{d\lambda }(x)\lambda (dx).$

• Нехай $\mu \ll \nu$ і $\nu \ll \mu$. Тоді

$\frac{d\mu }{d\nu }={\left(\frac{d\nu }{d\mu }\right)}^{-1}.$

• Нехай $\nu$ — заряд. Тоді

$\frac{d|\nu |}{d\mu }=\left|\frac{d\nu }{d\mu }\right|.$

Припущення σ-скінченності

У випадку якщо міра $\mu$ не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру $\mu$, що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай $\nu$ — міра Лебега. $\nu$ — абсолютно неперервна відносно $\mu$, оскільки єдина множина A нульової міри $\mu$ — пуста множина і тоді ν(A) = 0.

Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:

$\nu (A)=\underset{A}{\int }f\mathrm{d}\mu$

для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:

$0=f(a)$

для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.

Доведення

Нижче подані два доведення перше із яких використовує стандартні методи теорії міри, зокрема властивості ([[Сигма-адитивність|Шаблон:Mvar-адитивних]]) зарядів. Ключову роль у ньому відіграє теорема Гана про розклад мір і розклад Жордана. Друге використовує той факт, що класи еквівалентності інтегровних у квадраті функцій утворюють гільбертів простір і властивості гільбертових просторів, зокрема теорему Ріса.

Доведення методами теорії міри

Ідея доведення полягає у тому, що спершу для скінченних мір Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar розглядаються функції Шаблон:Math для яких Шаблон:Math. Теорема доводиться із використанням супремуму таких функцій і теореми Леві промонотонну збіжність. Після доведення твердження для скінченних мір воно легко узагальнюється на σ-скінченні міри, заряди і комплексні міри.

Доведення для скінченних мір

Нехай Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є скінченними невід'ємними мірами і Шаблон:Mvar позначає множину вимірних функцій Шаблон:Math для яких:

$\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }:\underset{A}{\int }fd\mu \le \nu (A)$

Шаблон:Mvar не є порожньою оскільки містить принаймні нульову функцію. Нехай Шаблон:Math і для вимірної множини Шаблон:Mvar позначимо підмножини:

$\begin{array}{cc}{A}_1& =\{x\in A:f_1(x)>f_2(x)\},\\ A_2& =\{x\in A:f_2(x)\ge f_1(x)\},\end{array}$

Тоді

$\underset{A}{\int }\max \{f_1,f_2\}d\mu =\underset{A_1}{\int }{f}_{1}d\mu +\underset{A_2}{\int }{f}_{2}d\mu \le \nu \left(A_1\right)+\nu \left(A_2\right)=\nu (A),$

і тому також Шаблон:Math.

Якщо Шаблон:Math є послідовністю функцій Шаблон:Mvar для якої

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu .$

то замінюючи Шаблон:Math на максимум перших Шаблон:Mvar функцій, можна припустити, що послідовність Шаблон:Math є зростаючою. Нехай Шаблон:Math є поточковою границею послідовності:

$g(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x).$

Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{A}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)d\mu (x)=\underset{A}{\int }gd\mu \le \nu (A)$

для кожної Шаблон:Math і тому Шаблон:Math. Також за побудовою

$\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu .$

Оскільки Шаблон:Math, то функція множин задана як

${\nu }_0(A):=\nu (A)-\underset{A}{\int }gd\mu$

є невід'ємною мірою на Шаблон:Math. Необхідно довести, що Шаблон:Math.

Якщо припустити, що Шаблон:Math, то оскільки Шаблон:Mvar є скінченною мірою, існує Шаблон:Math для якого Шаблон:Math. Розглянемо заряд Шаблон:Math і його додатну множину Шаблон:Math із розкладу Гана.

Тоді для довільної Шаблон:Math також Шаблон:Math, і тому

$\begin{array}{cc}\nu (A)& =\underset{A}{\int }gd\mu +{\nu }_0(A)\\ & \ge \underset{A}{\int }gd\mu +{\nu }_0(A\cap P)\\ & \ge \underset{A}{\int }gd\mu +\epsilon \mu (A\cap P)=\underset{A}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu ,\end{array}$

де Шаблон:Math є характеристичною функцією множини Шаблон:Mvar. Також Шаблон:Math адже якщо Шаблон:Math, тоді із того, що Шаблон:Mvar є абсолютно неперервним щодо Шаблон:Mvar і Шаблон:Math випливає, що Шаблон:Math і

${\nu }_0(X)-\epsilon \mu (X)=({\nu }_0-\epsilon \mu )(N)\le 0,$ де Шаблон:Math є від'ємною множиною із розкладу Гана.

Остання нерівність суперечить тому, що Шаблон:Math.

Оскільки також

$\underset{X}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu \le \nu (X)<+\mathrm{\infty },$

то Шаблон:Math і

$\underset{X}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu >\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu .$

Ця нерівність є неможливою і тому припущення, що Шаблон:Math є хибним і Шаблон:Math.

Оскільки Шаблон:Mvar є Шаблон:Mvar-інтегровною, то множина Шаблон:Math має Шаблон:Mvar-міру рівну нулю. Тому функція Шаблон:Math визначена як

$f(x)=\{\begin{array}{cc}g(x)& g(x)<\mathrm{\infty }\\ 0& g(x)=\mathrm{\infty },\end{array}$

є дійснозначною функцією, що задовольняє умови теореми Радона — Нікодима.

Нехай Шаблон:Math є двома вимірними функціями для яких

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu =\underset{A}{\int }gd\mu$

для кожної вимірної множини Шаблон:Mvar. Тоді Шаблон:Math є Шаблон:Mvar-інтегровною і

$\underset{A}{\int }(g-f)d\mu =0.$

Зокрема для Шаблон:Math абоШаблон:Math. Звідси випливає, що

$\underset{X}{\int }(g-f{)}^{+}d\mu =0=\underset{X}{\int }(g-f{)}^{-}d\mu ,$

і тому Шаблон:Math Шаблон:Mvar-майже сюди; таке ж твердження є вірним і для Шаблон:Math і тому Шаблон:Math Шаблон:Mvar-майже всюди.

Доведення для Шаблон:Mvar-скінченних мір

Якщо Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є Шаблон:Mvar-скінченними, то Шаблон:Mvar можна записати як диз'юнкте об'єднання множин Шаблон:Math із Шаблон:Math, кожна із яких має скінченну міру у Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar. Для кожного числа Шаблон:Mvar із доведеного скінченного випадку існує Шаблон:Math-вимірна функція Шаблон:Math для якої

${\nu }_n(A)=\underset{A}{\int }{f}_{n}d\mu$

для кожної Шаблон:Math-вимірної підмножини Шаблон:Mvar із Шаблон:Math. Сума $\left(\sum _n{f}_n{1}_{B_n}\right):=f$ тоді є необхідною функцією для якої $\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$.

Оскільки кожна із функцій Шаблон:Math є єдиною з точністю до множин Шаблон:Mvar-міри нуль, то і Шаблон:Math є єдиною з точністю до множин Шаблон:Mvar-міри нуль.

Доведення для зарядів і комплексних мір

Якщо Шаблон:Mvar є Шаблон:Mvar-скінченним [[Сигма-адитивність|Шаблон:Mvar-адитивним]] зарядом, то для нього існує розклад Жордана Шаблон:Math де одна із мір є скінченною. Застосовуючи теорему Радона — Нікодима до цих мір одержуються функції Шаблон:Math, принаймні одна з яких є Шаблон:Mvar-інтегровною. Функція Шаблон:Math задовольняє умови теореми, зокрема і єдиність з точністю до множин Шаблон:Mvar-міри нуль.

Якщо Шаблон:Mvar є комплексною мірою то її можна записати як Шаблон:Math, де Шаблон:Math і Шаблон:Math є скінченними [[Сигма-адитивність|Шаблон:Mvar-адитивними]] зарядами. Тому із попереднього одержуються функції, Шаблон:Math, які задовольняють твердження теореми для зарядів Шаблон:Math і Шаблон:Math, відповідно. Функція Шаблон:Math тоді задовольняє твердження теореми Радона — Нікодима для комплексних мір.

Доведення методами функціонального аналізу

Тут доводиться випадок скінченних невід'ємних мір. Перехід на інші випадки аналогічний попередньому доведенню.

Нехай $\phi =\mu +\nu$ є сумою мір. Тоді для будь-якої невід'ємної вимірної функції $h$

$\underset{X}{\int }hd\phi =\underset{X}{\int }hd\mu +\underset{X}{\int }hd\nu .$

Простір $L^2(\phi )$ всіх інтегровних у квадраті функцій щодо міри $\phi$ із відношенням еквівалентності яке ідентифікує функції які набувають різних значень лише на множині $\phi$-міри нуль є гільбертовим простором. Для функції $f\in L^2(\phi )$ тоді згідно нерівності Коші — Буняковського для гільбертових просторів:

$\left|\underset{X}{\int }hd\nu \right|⩽\underset{X}{\int }|h|d\nu ⩽\underset{X}{\int }|h|d\phi ⩽{(\underset{X}{\int }|h{|}^{2}d\phi )}^{\frac{1}{2}}(\phi (X){)}^{\frac{1}{2}}.$

Оскільки $\phi (X)$ є скінченним, то $I_{\nu }(h)=\underset{X}{\int }hd\nu$ є обмеженим лінійним функціоналом на просторі $L^2(\phi ).$ Згідно теореми Ріса, існує такий елемент $g\in L^2(\phi )$, що лінійний функціонал є рівний скалярному добутку на цей елемент, тобто

$\underset{X}{\int }hd\nu =\underset{X}{\int }hgd\phi .$

Якщо для довільної вимірної множини $E$ зокрема взяти за $h$ характеристичну функцію множини $E$, то із того, що $\nu ⩽\phi$ випливає нерівність

$0⩽\frac{1}{\phi (E)}\underset{E}{\int }gd\phi ⩽1$

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх вимірних множин $E$, то також і $0⩽g⩽1$ майже скрізь на $X$ щодо міри $\phi$. Дійсно, якщо б це було не так, то оскільки множина $ℝ\setminus [0,1]$ є об'єднанням зліченної кількості відкритих інтервалів $(a,b),1<a<b$ і $(d,e),d<e<0$ то хоча б для одного такого інтервалу $\phi (g^{-1}(a,b))>0$ або $\phi (g^{-1}(d,e))>0.$ Якщо це справедливо для першого типу інтервалів, то позначивши $E=g^{-1}(a,b)$ тоді

$\frac{1}{\phi (E)}\underset{E}{\int }gd\phi ⩾\frac{1}{\phi (E)}\underset{E}{\int }ad\phi =a>1,$

що суперечить нерівностям вище для довільного $E$. Аналогічно для другого типу інтервалів позначивши $E=g^{-1}(d,e)$ тоді

$\frac{1}{\phi (E)}\underset{E}{\int }gd\phi ⩽\frac{1}{\phi (E)}\underset{E}{\int }ed\phi =e<0,$

що, знову ж, суперечить згаданим нерівностям.

Можна змінити функцію $g$ на множині $\phi$-міри нуль щоб нерівності $0⩽g⩽1$ виконувалися на всьому просторі $X$. Із попередніх рівностей випливає, що для всіх $h\in L^2(\phi )$

$\underset{X}{\int }h(1-g)d\nu =\underset{X}{\int }hgd\mu .$

Якщо позначити $A=\{x|0⩽g(x)<0\}$ і $B=\{x|g(x)=1\}$, то із останньої рівності для $h={\mathrm{𝟏}}_B$ випливає, що $\mu (B)=0$ і відповідно $\nu (B)=0$.

Із обмеженості функції $g$ випливає, що $(1+g+g^2+\dots +g^n){\mathrm{𝟏}}_E\in L^2(\phi )$. Підставивши цю функцію у рівність інтегралів одержується рівність

$\underset{E}{\int }(1-g^{n+1})d\nu =\underset{E}{\int }g(1+g+\dots +g^n)d\mu .$

Для усіх точок із $A$ функції $1-g^{n+1}$ монотонно зростають до одиничної функції, а на множині $B$ усі функції $1-g^{n+1}$ є рівними нулю. Звідси із використанням теореми Леві про монотонну збіжність

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }(1-g^{n+1})d\nu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A\cap E}{\int }(1-g^{n+1})d\nu =\nu (A\cap E)=\nu (E)$.

Послідовність функцій $g(1+g+\dots +g^n)$ поточково монотонно прямує до невід'ємної вимірної функції $f$ і з використанням теореми про монотонну збіжність $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }g(1+g+\dots +g^n)d\mu =\underset{E}{\int }fd\mu$ і остаточно для всіх вимірних множин $E$

$\nu (E)=\underset{E}{\int }fd\mu .$

Якщо у цій формулі взяти всю множину $X$ то одержується єдиним чином визначений елемент $h\in L^1(\phi )$ який задовольняє умови теореми. Всі функції, що задовольняють умови теореми відповідно належать вказаному класу еквівалентності і між собою відрізняються лише на множині Шаблон:Mvar-міри нуль.

Доведення теореми Лебега

Позначення і схему цього доведення можна використати для доведення теореми Лебега про розклад міри. У вказаному доведенні можна розглядати міру $\phi$, функцію $g$, множини $A$ і $B$ навіть якщо міра $\nu$ не є абсолютно неперервною щодо $\mu$. У цьому випадку також $\mu (B)=0$ але звідси не обов'язково випливає, що $\nu (B)=0$.

Тоді можна розглянути міри ${\nu }_1(E)=\nu (E\cap B)$ і ${\nu }_2(E)=\nu (E\cap B)$. Міри ${\nu }_1$ і $\mu$ є сингулярними, а для ${\nu }_2$ можна як і у доведенні знайти функцію для якої ${\nu }_2(E)=\underset{E}{\int }fd\mu .$ Зокрема ${\nu }_2$ є абсолютно неперервною щодо $\mu$ і відповідно існує розклад $\nu ={\nu }_1+{\nu }_2$ міри $\nu$ на суму двох мір одна з яких є сингулярною, а інша — абсолютно неперервною щодо міри $\mu$, що і є твердженням теореми Лебега для скінченних мір.

Якщо Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є Шаблон:Mvar-скінченними, то Шаблон:Mvar можна записати як диз'юнкте об'єднання множин Шаблон:Math із Шаблон:Math, кожна із яких має скінченну міру у Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar. Тоді обмеження Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar на кожну підмножину Шаблон:Math є скінченними мірами і на цій підмножині можна ввести міри Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar. Разом із зліченної адитивності ці міри визначаються на всьому просторі і перша з них буде сингулярною, а друга — абсолютно неперервною щодо міри Шаблон:Mvar.

Див. також

• Абсолютна неперервність
• Відстань Кульбака — Лейблера
• Заряд (теорія міри)
• Теорема Гана про розклад
• Теорема Лебега про розклад міри

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
• Шаблон:Citation