Теорема Каратеодорі про продовження міри

В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільну (зліченно-адитивну) міру на деякому кільці $ℛ$ підмножин множини $X$ можна продовжити на σ-кільце, породжене кільцем $ℛ$. У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега.

Твердження

Нехай $ℛ$ — кільце на множині $\mathrm{\Omega }$ і $\mu :R\to [0,+\mathrm{\infty }]$ — міра на $ℛ$. Тоді існує міра ${\mu }^{\prime }:\sigma (ℛ)\to [0,+\mathrm{\infty }]$ така, що ${\mu }^{\prime }$ є продовженням $\mu$. (Тобто, $\mu {\text{'}}_{{|}_R}=\mu$).

Тут $\sigma (ℛ)$ — $\sigma$-кільце, породжене $ℛ$.

Якщо міра $\mu$ — σ-скінченна, то ${\mu }^{\prime }$ є єдиною і також σ-скінченною.

Напівкільця

Більш загально таке продовження існує для міри, заданої на напівкільці, тобто сім'ї підмножин, що задовольняють умови:

• $\varnothing \in S$
• Для всіх $A,B\in S$ також $A\cap B\in S$
• Для всіх $A,B\in S$ існують такі попарно неперетинні множини $K_i\in S$, де $i=1,2,\dots ,n$, що $A\setminus B=⨄K_i$ .

Однак цей випадок легко зводиться до попереднього, оскільки кожне напівкільце породжує кільце, елементами якого є:

$R(S)=\{A:A=\bigcup _{i=1}^n{A}_i,A_i\in S\}$

Також міра, задана на напівкільці, поширюється на все кільце:

$\mu (A)=\sum _{p=1}^n\mu (A_p)$ для $A=\underset{p=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_p$ із A_p в $𝒮$ .

Побудова продовження

Нехай $\mu$ — міра, визначена на кільці $ℛ$ підмножин множини $\mathrm{\Omega }$.

Тоді можна визначити ${\mu }^{*}$ — функцію, визначену на $A\in 𝒫(X)$ так :

${\mu }^{*}(A)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\mu }(E_k)\mid E_k\in ℛ,A\subset \bigcup _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{E}_k\}.$

Дана функція є зовнішньою мірою, породженою мірою $\mu$.

Позначимо ${ℳ}_{\mu }$ сім'ю підмножин $A$ множини $\mathrm{\Omega }$, для яких виконується:

Для всіх $E\subset \mathrm{\Omega }$ ${\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\setminus A)={\mu }^{*}(E)$.

Тоді ${ℳ}_{\mu }$ є σ-кільцем і на ньому можна визначити міру $\bar{\mu }(A)={\mu }^{*}(A)$ для всіх $A\in {ℳ}_{\mu }$. Визначена таким чином функція є мірою, що збігається з $\mu$ на множинах кільця $ℛ$. Також ${ℳ}_{\mu }$ містить σ-алгебру $\sigma (ℛ)$ і звуження $\bar{\mu }$ на елементи $\sigma (R)$ і буде необхідним розширенням міри.

σ-кільце ${ℳ}_{\mu }$ є поповненням кільця $\sigma (ℛ)$, відповідно вони збігаються, якщо визначена міра на $\sigma (ℛ)$ є повною.

Тому для доведення теореми достатньо довести, що для довільної зовнішньої міри ${\mu }^{*}$ (не обов'язково породженої кільцем) визначені вище ${ℳ}_{\mu }$ є σ-кільцем, а $\bar{\mu }$ — мірою на цьому σ-кільці і, що у випадку якщо ${\mu }^{*}$ є породженою кільцем $ℛ$, то $\sigma (ℛ)\subset {ℳ}_{\mu }.$ Також у випадку σ-скінченності міри доводиться єдиність продовження. Нехай для довільної множини $E\subset \mathrm{\Omega }$також $\bar{E}=\mathrm{\Omega }\setminus E.$

${ℳ}_{\mu }$ є σ-кільцем, а $\bar{\mu }$ — мірою на σ-кільці

Оскільки для довільної підмножини $E\subset \mathrm{\Omega }$і для порожньої множини виконується рівність ${\mu }^{*}(E\cap \varnothing )+{\mu }^{*}(E\setminus \varnothing )={\mu }^{*}(\varnothing )+{\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E)$ то $\varnothing \in {ℳ}_{\mu }.$

Якщо $A\in {ℳ}_{\mu }$ то і $\bar{A}\in {ℳ}_{\mu }$ оскільки для довільної підмножини $E\subset \mathrm{\Omega }$виконується рівність

${\mu }^{*}(E\cap \bar{A})+{\mu }^{*}(E\setminus \bar{A})={\mu }^{*}(E\setminus A)+{\mu }^{*}(E\cap A)={\mu }^{*}(E).$

Нехай тепер $A\in {ℳ}_{\mu }$ і $B\in {ℳ}_{\mu }.$ Для довільної підмножини $E\subset \mathrm{\Omega }$із вимірності першої, а потім другої множини одержуються рівності:

${\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap \bar{A})={\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap \bar{A}\cap B)+{\mu }^{*}(E\cap \bar{A}\cap \bar{B}).$

Також із $A\in {ℳ}_{\mu }$ і властивостей елементарних операцій над множинами одержуються рівності:

${\mu }^{*}(E\cap (A\cup B))={\mu }^{*}(E\cap (A\cup B)\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap (A\cup B)\cap \bar{A})={\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap \bar{A}\cap B).$

Із попередніх нерівностей із застосуванням правила де Моргана остаточно:

${\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E\cap (A\cup B))+{\mu }^{*}(E\cap \overline{(A\cup B)}).$

Звідси також $A\cup B\in {ℳ}_{\mu }$ і з попередніх двох властивостей і правила де Моргана $A\cap B=\overline{\stackrel{‾}{A}\cup \stackrel{‾}{B}}\in {ℳ}_{\mu }.$ Також $A\setminus B=A\cap \bar{B}\in {ℳ}_{\mu }.$ Тобто ${ℳ}_{\mu }$ є кільцем множин.

Нехай тепер $A_n\in {ℳ}_{\mu },n⩾1.$ Тоді також $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in {ℳ}_{\mu }.$ Для доведення, спершу для довільної підмножини $E\subset \mathrm{\Omega }$ із субадитивності зовнішньої міри відразу випливає нерівність:

${\mu }^{*}(E)⩽{\mu }^{*}(E\bigcap \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)+{\mu }^{*}(E\bigcap \overline{\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i}).$

Для доведення протилежної нерівності, зважаючи що ${ℳ}_{\mu }$ є алгеброю можна замість $A_n$ розглядати множини $A_n\setminus \bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i\in {ℳ}_{\mu }$ і вважати, що множини не перетинаються. Тоді за індукцією із вимірності всіх множин для довільного $n⩾1$ і довільної підмножини $E\subset \mathrm{\Omega }$ виконується рівність:

${\mu }^{*}(E\bigcap \bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^n{\mu }^{*}(E\cap A_i).$

Із цієї рівності і монотонності зовнішньої міри:

${\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E\bigcap \bigcup _{i=1}^n{A}_i)+{\mu }^{*}(E\bigcap \overline{\bigcup _{i=1}^n{A}_i})⩾\sum _{i=1}^n{\mu }^{*}(E\cap A_i)+{\mu }^{*}(E\bigcap \overline{\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i}).$

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх $n⩾1$ то із використанням властивості субадитивності зовнішньої міри одержується необхідна нерівність:

${\mu }^{*}(E)⩾\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(E\cap A_i)+{\mu }^{*}(E\bigcap \overline{\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i})⩾{\mu }^{*}(E\bigcap \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)+{\mu }^{*}(E\bigcap \overline{\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i}).$

Таким чином із двох протилежних нерівностей остаточно:

${\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E\bigcap \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)+{\mu }^{*}(E\bigcap \overline{\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i}),$

тобто $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in {ℳ}_{\mu }.$

Якщо взяти $E=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ то також одержується рівність ${\mu }^{*}\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}{A}_n,$ тобто обмеження $\bar{\mu }$ зовнішньої міри ${\mu }^{*}$ на множини із ${ℳ}_{\mu }$ є сигма-адитивною функцією. Вона також очевидно є додатною, тобто мірою на ${ℳ}_{\mu }.$

Початкове кільце є підмножиною ${ℳ}_{\mu }$

Нехай тепер ${\mu }^{*}$ є породженою кільцем $ℛ$ і мірою $\mu$ на ньому. Тоді $\mu (A)={\mu }^{*}(A),\mathrm{\forall }A\in ℛ.$ Справді, ${\mu }^{*}(A)⩽\mu (A),$ оскільки $A\subset A\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \dots .$Навпаки, для будь-якої послідовності $A_n\in ℛ,n⩾1.$ для якої $A\subset \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ також $A=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A\cap A_n).$

Із σ-адитивності і монотонності міри на кільці випливає нерівність $\mu (A)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A\cap A_n)⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n).$ Тому, згідно з означенням зовнішньої міри також $\mu (A)⩽{\mu }^{*}(A).$

Нехай $A\in ℛ$, $\epsilon >0$ — довільне додатне число, а $E\subset \mathrm{\Omega }$ — деяка множина для якої ${\mu }^{*}(E)<\mathrm{\infty }.$ Згідно із означенням зовнішньої міри породженої мірою на кільці тоді існує послідовність $A_n\in ℛ,n⩾1$ для якої $E\subset \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ і $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)<{\mu }^{*}(E)+\epsilon .$

Із урахуванням адитивності міри на кільці і субадитивності зовнішньої міри:

${\mu }^{*}(E)+\epsilon >\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\mu (A_n\cap A)+\mu (A_n\cap \bar{A}))⩾\mu (E\cap A)+\mu (E\cap \bar{A}).$

Оскільки вказані нерівності виконуються для всіх $\epsilon >0$, то ${\mu }^{*}(E)⩾\mu (E\cap A)+\mu (E\cap \bar{A}).$ Протилежна нерівність завжди виконується для зовнішньої міри, тому насправді ${\mu }^{*}(E)=\mu (E\cap A)+\mu (E\cap \bar{A}),$ тобто усі множини кільця $ℛ$ належать ${ℳ}_{\mu }.$ Оскільки σ-кільце $\sigma (ℛ)$ породжене кільцем $ℛ$ є перетином усіх σ-кілець, що містять $ℛ$, то також і $\sigma (ℛ)\subset {ℳ}_{\mu }.$

Для σ-скінченної міри на кільці продовження на породжене σ-кільце є єдиним

Нехай міра $\bar{\mu }$ є продовженням на $\sigma (ℛ)$ міри $\mu$ на кільці $ℛ$ одержаним у вказаний вище спосіб, а $\lambda$ є деяким продовженням на $\sigma (ℛ)$ міри $\mu$. Нехай спершу, одна із цих мір є скінченною на всіх множинах із $\sigma (ℛ)$. Якщо позначити $𝒬$ — клас усіх підмножин із $\sigma (ℛ)$ для яких міри $\lambda$ і $\bar{\mu }$ є рівними, тоді $ℛ\subset 𝒬\subset \sigma (ℛ)$ і $𝒬$ є монотонним класом, тобто:

1. Якщо $A_1,A_2,\dots \in 𝒬$ і $A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots$ тоді ${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in M,$ і
2. Якщо $B_1,B_2,\dots \in M$ і $B_1\supseteq B_2\supseteq \cdots$ тоді ${\bigcap }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\in M.$

Справді, для зростаючої послідовності множин $A_n$ із $𝒬$ із неперервності міри знизу одержується, що:

$\lambda \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\lambda (A_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bar{\mu }(A_n)=\bar{\mu }\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right).$

Тобто $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒬.$ Аналогічно для спадної послідовності множин $B_n$ із $𝒬$ за допомогою неперервності міри зверху і припущення скінченності однієї із мір:

$\lambda \left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\lambda (B_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bar{\mu }(B_n)=\bar{\mu }\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\right).$

відповідно також $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\in 𝒬.$

Оскільки $𝒬$ є монотонним класом, для якого $ℛ\subset 𝒬\subset \sigma (ℛ)$, то згідно теореми про монотонний клас $𝒬=\sigma (ℛ),$ тобто $\lambda =\bar{\mu }$ для всіх множин із $\sigma (ℛ)$.

Якщо $A\in 𝒬$ є множиною для якої одна із мір $\lambda$ і $\bar{\mu }$ є скінченною. Тоді із попереднього міри $\lambda$ і $\bar{\mu }$ є рівними на множинах $A\cap \sigma (ℛ)=\sigma (A\cap ℛ)$. Остаточно результат одержується із того, що кожна множина із $\sigma (ℛ)$ є підмножиною об'єднання не більш ніж зліченної кількості множин із $ℛ$ скінченної міри.

Приклади

• Якщо на дійсній прямій взяти напівкільце $𝒮$ інтервалів $(a,b),a<b$, де міра $(a,b)$ рівна (b-a), то подана конструкція дає визначення міри Бореля на борелівських множинах $\sigma (𝒮)$. Множині ${ℳ}_{\mu }$ тут відповідає множина вимірних за Лебегом множин.
• Умова σ-скінченності є необхідною для єдиності продовження. Наприклад, на множині X всіх раціональних чисел проміжку [0 , 1] можна задати напівкільце раціональних чисел проміжку [a , b), де a < b — раціональні числа з проміжку [0 , 1]. σ-кільце, породжене цим напівкільцем, є множиною всіх підмножин X. Задавши тепер $\mu (A)$, рівне кількості елементів A, і ${\mu }^{\text{'}}(A)=2\mu (A)$, маємо, що обидві міри збігаються (тобто однакові) на напівкільці і породженому кільці (оскільки всі непорожні множини цих напівкільця і кільця є безмежними, то обидві міри на всіх цих множинах рівні $\mathrm{\infty }$), але не збігаються на породженому σ-кільці. Це означає, що в даному випадку продовження не є єдиним.

Література

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989 Шаблон:Ref-ru
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953 Шаблон:Ref-ru