Сигма-кільце

У математиці непуста сім'я множин $ℛ$ називається σ-кільцем якщо вона є замкнутою щодо операцій зліченного об'єднання і доповнення множин.

Формальне означення

Нехай $ℛ$ — непуста сім'я множин. Тоді $ℛ$ є σ-кільцем якщо:

1. $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℛ$ якщо $A_n\in ℛ$ для всіх $n\in \mathbb{N}$
2. $A\setminus B\in ℛ$ якщо $A,B\in ℛ$

Якщо в першій властивості замість зліченного об'єднання розглядати скінченне (тобто $A\cup B\in ℛ$ якщо $A,B\in ℛ$), тоді $ℛ$ є кільцем але не σ-кільцем. Таким чином σ-кільце є кільцем, що задовольняє умову зліченного об'єднання.

Властивості

Із цих двох властивостей відразу випливає

$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℛ$ if $A_n\in ℛ$ для всіх $n\in \mathbb{N}$

Це є наслідком того, що $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cap }}{A}_n=A_1\setminus \underset{n=2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}(A_1\setminus A_n)$.

Застосування в теорії міри

σ-кільця можна застосовувати замість σ-алгебр у теорії міри, якщо немає необхідності у вимірності універсальної множини.

σ-кільце $ℛ$ підмножин множини $X$ породжує σ-алгебру на $X$. Позначимо $𝒜$ сім'ю підмножин $X,$ що є елементами $ℛ$ або їх доповнення є елементами $ℛ$. Тоді $𝒜$ є σ-алгеброю підмножин $X$. Також $𝒜$ є мінімальною σ-алгеброю, що містить.

Див. також

• Дельта-кільце
• Кільце множин
• Сигма-алгебра

Література

• Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill.