Дельта-кільце

У математиці непуста сім'я множин $ℛ$ називається δ-кільцем якщо вона є замкнутою щодо операцій об'єднання, доповнення і зліченного перетину:

1. $A\cup B\in ℛ$ якщо $A,B\in ℛ$
2. $A-B\in ℛ$ якщо $A,B\in ℛ$
3. $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℛ$ якщо $A_n\in ℛ$ для всіх $n\in \mathbb{N}$

Якщо виконуються лише перші дві умови, то $ℛ$ є кільцем але не δ-кільцем. Тому можна дати означення, що δ-кільце є кільцем множин замкнутим щодо операції зліченного перетину.

Приклади

• Кожне σ-кільце (і зокрема σ-алгебра) є δ-кільцем. Це випливає із співвідношення для множин: $\bigcap _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{A}_i=A_1\setminus \bigcup _{i=2}^{+\mathrm{\infty }}(A_1\setminus A_i).$ Натомість, як показують приклади нижче, δ-кільце не обов'язково є σ-кільцем.
• Якщо X є нескінченною множиною, то сім'я всіх її скінченних підмножин є δ-кільцем але не σ-кільцем.
• $𝒦=\{S\subset ℛ:\mu (S)<\mathrm{\infty }\},$ де $\mu (S)$ позначає міру Лебега є δ-кільцем. Це кільце не є σ-кільцем оскільки, наприклад, $\underset{N=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}[0,N]$ має нескінченну міру.
• Узагальнюючи попередній приклад, якщо (X, 𝒜, Шаблон:Math) є вимірним простором, то ті множини σ-алгебри 𝒜, міра яких є скінченною утворюють δ-кільце.

Застосування у теорії міри

δ-кільце можна використовувати замість σ-алгебр у розвитку теорії міри якщо не допускається нескінченна міра.

Наприклад, традиційно у теоремі Каратеодорі про продовження, яка поширює міра, задану на кільці множин, до міри на породженій ним σ-алгебр, конструкція приводить до міри, яка не є скінченною. Якщо початкова міра є сигма-скінченною, можна альтернативно розглянути розширення на δ-кільце, породжене 𝒜, а не на σ-алгебру. При цьому не використовуватиметься значення Шаблон:Math у визначенні міри.

Якщо задано δ-кільце 𝒟 на множині X, то підмножина Шаблон:Math називається локально вимірною відносно 𝒟 якщо:

$\mathrm{\forall }E\in 𝒟E\cap A\in 𝒟.$

Клас локально вимірних множин відносно 𝒟 утворює σ-алгебру. Якщо задана скінченна міра Шаблон:Math на 𝒟, її можна поширити на міру на σ-алгебрі локально вимірних множин взявши для всіх Шаблон:Math із цієї σ-алгебри:

$\mu (A)=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\{\mu (B)\mid B\in 𝒟\wedge B\subset A\}.$

Див. також

• Кільце множин
• Сигма-алгебра
• Сигма-кільце

Посилання

• Cortzen, Allan. "Delta-Ring." From MathWorld—A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/Delta-Ring.html Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Ouvrage