Теорема Какутані про нерухому точку

Теорема Какутані про нерухому точку — твердження в опуклій геометрії, що є узагальненням теореми Брауера про нерухому точку. Теорема має широке застосування в економіці, зокрема у знаменитому доведенні існування рівноваги Неша.

Твердження теореми

Необхідні означення

Багатозначною функцією φ із множини X у множину Y називається функція із X у булеан множини Y, φ: X → 2^Y, для якої також φ(x) є непорожньою множиною для всіх $x\in X$.

Багатозначна функція φ: X → 2^Y називається замкнутою якщо множина {(x,y) | y ∈ φ(x)} є замкнутою підмножиною у X × Y. Іншими словами, якщо для послідовностей $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ і $\{y_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ для яких $x_n\to x$, $y_n\to y$ і $y_n\in \phi (x_n)$ для всіх $n$, також $y\in \phi (x)$.

Багатозначна функція φ: X → Y називається напівнеперервною зверху в точці x, якщо для будь-якого околу U множини-образу φ(x) існує окіл V точки x, такий, що $\varphi (V)\subset U,$ де $\varphi (V)=\bigcup _{x\in V}\varphi (x)$. Функція називається напівнеперервною зверху, якщо вона є напівнеперервною зверху в кожній точці. Якщо множина X є компактною то багатозначна функція є замкнутою тоді і тільки тоді коли вона є напівнеперервною зверху і φ(x) є замкнутою множиною для всіх x.

Нехай φ: X → 2^X — багатозначна функція. Тоді a ∈ X називається нерухомою точкою функції φ якщо a ∈ φ(a).

ε-сіткою у метричному просторі X називається така підмножина S, що для кожної точки x у X існує точка у S відстань до якої є меншою за ε. Для компактного простору X завжди існує скінченна ε-сітка.

Твердження теореми

Нехай X непорожня, компактна і опукла підмножина евклідового простору Rⁿ. Якщо φ: X → 2^X є замкнутою багатозначною функцією на X і для всіх x ∈ X множина φ(x) є непорожньою і опуклою то для функції φ існує нерухома точка.

Доведення

Оскільки X — компактна множина, то для неї існує скінченна ε-сітка $N_{ϵ}=\{a_{ϵ}^i|i=1,...,s_{ϵ}\}$ для будь-якого ε > 0. Виберемо і зафіксуємо довільну точку $b_{ϵ}^i$ в кожній із множин $f(a_{ϵ}^i)$. Задамо тепер $s_{ϵ}$ неперервних на X функцій ${\theta }_{ϵ}^i$, що мають вигляд

${\theta }_{ϵ}^i(x)=\max \{ϵ-\Vert x-a_{ϵ}^i\Vert ,0\}i=1,...s_{ϵ}.$

Ці функції є невід'ємними і окрім того того, їх сума завжди є додатною оскільки з означення ε-сітки для будь-якого x маємо $ϵ>\Vert x-a_{ϵ}^i\Vert$ хоча б для одного i, так що для цього i маємо ${\theta }_{ϵ}^i(x)>0.$. Виходячи з цього, можна побудувати $s_{ϵ}$вагових функцій

$w_{ϵ}^i(x)=\frac{{\theta }_{ϵ}^i(x)}{\sum _{j=1}^{s_{ϵ}}{\theta }_{ϵ}^j(x)}i=1...s_{ϵ}.$

Користуючись ваговими функціями $w_{ϵ}^i(x),$ визначимо однозначне неперервне відображення $f_{ϵ}(x)$ за допомогою формули

$f_{ϵ}(x)=\sum _{j=1}^{s_{ϵ}}{w}_{ϵ}^i(x)b_{ϵ}^i.$

З умов $b_{ϵ}^i\in X(i=l,...,s_{ϵ}),w_{ϵ}^i(x)⩾0,\sum w_{ϵ}^i(x)=l$ і з опуклості множини X випливає, що $f(x)\in X$. Таким чином, при будь-якому ε > 0 ми маємо однозначне неперервне відображення $f_{ϵ}:X\to X$. По теоремі Брауера про нерухому точку у цього відображення є нерухома точка $x_{ϵ}$.

Побудуємо такі ж функції і точки для послідовності додатних чисел $\{{ϵ}_{\nu }\}$ для якої $\lim {ϵ}_{\nu }=0.$ Оскільки множина X є компактною відповідна послідовність нерухомих точок $\{x_{{ϵ}_{\nu }}\}$(для яких $x_{{ϵ}_{\nu }}=f(x_{{ϵ}_{\nu }}),$ містить підпослідовність, що збігається до деякої границі $\overline{x}$. Тому можна вважати, що обрана послідовність $\{{ϵ}_{\nu }\}$ додатних чисел задовольняє умовам

1. $\underset{\nu \to \mathrm{\infty }}{\lim }{ϵ}_{\nu }=0,$
2. $\underset{\nu \to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{{ϵ}_{\nu }}=\overline{x},$
3. $x_{{ϵ}_{\nu }}=f(x_{{ϵ}_{\nu }}).$

Тоді $\overline{x}$ є нерухомою точкою відображення f. Для доведення цього розглянемо множину $O_{\delta }=f(\overline{x})+U_{\delta }$, де $U_{\delta }=\{u|\Vert u\Vert <\delta \}$ при $\delta >0$. Якщо при будь-якому $\delta >0$ виявиться, що $\overline{x}\in O_{\delta }$, то звідси буде випливати, що $\overline{x}\in f(\overline{x})$ через замкнутість множини $f(\overline{x})$ в X.

Множина $O_{\delta }$ є відкритою множиною, що містить множину $f(\overline{x}),$ оскільки вона є об'єднанням відкритих множин $O_{\delta }=\bigcup _{x\in f(\overline{x})}(x+U_{\delta }).$ Також вона є опуклою оскільки вона є векторною сумою двох опуклих множин $f(\overline{x})$ і $U_{\delta }.$

Відображення f є напівнеперервним зверху і тому з того, що $O_{\delta }$ — відкрита множина, що включає $f(\overline{x})$ випливає, що існує ε-окіл V_ε точки $\overline{x}$, для якого $f(V_{ϵ})\subset O_{\delta }.$ Зважаючи на властивості послідовності $\{{ϵ}_{\nu }\}$ для досить великих $\nu$ маємо ${ϵ}_{\nu }<ϵ/2$ і $x_{{ϵ}_{\nu }}\in V_{ϵ/2}$. При цьому виконання нерівності $w_{{ϵ}_{\nu }}^i(x_{{ϵ}_{\nu }})>0$ означає, що

$\Vert x_{{ϵ}_{\nu }}-a_{{ϵ}_{\nu }}^i\Vert <{ϵ}_{\nu }<ϵ/2$

і

$\Vert \overline{x}-a_{{ϵ}_{\nu }}^i\Vert ⩽\Vert \overline{x}-x_{{ϵ}_{\nu }}\Vert +\Vert x_{{ϵ}_{\nu }}-a_{{ϵ}_{\nu }}^i\Vert <ϵ.$

В результаті при всіх досить великих $\nu$ маємо $a_{{ϵ}_{\nu }}^i\in V_{ϵ}$ для кожного i для якого $w_{{ϵ}_{\nu }}^i(x_{{ϵ}_{\nu }})>0.$ Звідси випливає що

$b_{{ϵ}_{\nu }}^i\in f(a_{{ϵ}_{\nu }}^i)\subset f(V_{ϵ})\subset O_{\delta }$

Тоді враховуючи що $x_{{ϵ}_{\nu }}=\sum w_{{ϵ}_{\nu }}^i(x_{{ϵ}_{\nu }})b_{{ϵ}_{\nu }}^i.$ точка $x_{{ϵ}_{\nu }}$ при досить великих $\nu$ є опуклою лінійною комбінацією тільки тих точок $b_{{ϵ}_{\nu }}^i,$ які належать $O_{\delta }$ і оскільки множина є опуклою, то $x_{{ϵ}_{\nu }}\in O_{\delta }.$ Спрямовуючи $\nu$ до нескінченності отримуємо, що $\overline{x}\in \overline{O_{\delta }}.$ Звідси $\overline{x}\in O_{\delta }$ при будь-якому $\delta >0,$ і з наведених вище аргументів, $\overline{x}\in f(\overline{x}).$

Див. також

• Рівновага Неша
• Теорема Брауера про нерухому точку

Література

• Х. Никайдо, Выпуклые структуры и математическая экономика. — Москва: Мир, 1972.
• Шаблон:Cite book