Опукла геометрія

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Опукла геометрія — частина геометрії, яка вивчає опуклі множини, здебільшого, у евклідовому просторі. Опуклі множини виникають природним чином в багатьох областях, у тому числі в обчислювальній геометрії, опуклому аналізі, комбінаторній геометрії, функціональному аналізі, геометрії чисел, Шаблон:Не перекладено, лінійному програмуванні, теорії ймовірностей.

Історія

Опукла геометрія відносно молода дисципліна. Хоча перший відомий внесок в опуклу геометрію був зроблений ще у античні часи і його можна знайти у працях Евкліда і Архімеда, але самостійним розділом математики дисципліна стала в кінці XIX століття, у основному завдяки роботам Шаблон:Не перекладено і Германа Мінковського для просторів вимірностей два і три. Значна частина їх результатів була незабаром узагальнена на простори більшої вимірності.

Важливість опуклої геометрії для прикладних задач проявилася в середині XX століття, коли розвиток опуклої оптимізації (опуклого програмування) потребував фактів, які стосуються опуклих тіл. Справа в тому, що ряд класичних нерівностей та оцінок, отриманих на початку XX століття для довільних опуклих тіл, не дуже залежать (або не залежать зовсім) від вимірності простору, це дозволило уникнути «прокляття розмірності» — традиційної проблеми у прикладній математиці, коли складність задачі катастрофічно зростає із збільшенням числа змінних[1].

Перший загальний огляд опуклої геометрії в евклідовому просторі ℝn був опублікований у 1934 році Шаблон:Не перекладено і Шаблон:Не перекладеноШаблон:Sfn. У 1993 році під редакцією Шаблон:Не перекладено і Шаблон:Не перекладено вийшов двотомний «Довідник з опуклої геометрії», що включає результати, отримані в XX століттіШаблон:Sfn.

Класифікація

Згідно математичної предметної класифікації[2] математична дисципліна «опукла і дискретна геометрія» включає три основних гілки[3]:

  • Загальна опуклість,
  • Багатогранники,
  • Дискретна геометрія.

«Загальна опуклість» потім поділяється на:[4]

  • Аксіоматична і узагальнена опуклість
  • Опуклі множини без обмеження на розмірність
  • Опуклі множини в топологічних векторних просторах
  • Опуклі множини в двовимірних просторах (включаючи опуклі криві)
  • Опуклі множини в тривимірних просторах (включаючи опуклі поверхні)
  • Опуклі множини в Шаблон:Mvar — мірних просторах (включаючи опуклі гіперповерхні)
  • Банахови простору кінцевої розмірності
  • Випадкові опуклі множини та інтегральна геометрія
  • Асимптотична теорія опуклих тіл
  • Апроксимація опуклими множинами
  • Варіанти опуклих множин (зіркоподібні, Шаблон:Math — опуклі, і так далі)
  • Теореми, подібні теоремі Хеллі і геометрична теорія трансверсалей
  • Інші проблеми комбінаторної опуклості
  • Довжина, площа, об'єм
  • Змішаний об'єм і пов'язані поняття
  • Нерівності та екстремальні задачи
  • Опуклі функції і опукле програмування
  • Сферична і гіперболічна опуклість

Термін «опукла геометрія» використовується також в комбінаториці як назва однієї з абстрактних моделей опуклих множин, одна з яких еквівалентна антиматроїдам.

Див. також

Примітки

Шаблон:Примітки

Посилання

  1. ↑ В. Ю. Протасов, Опукла геометрія: від робіт Мінковського до сучасних завдань оптимізації. Літня школа «Сучасна математика», Дубна, 2011. [1]
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Cite web
Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Опукла_геометрія&oldid=5955