Змішаний об'єм

Змішаний об'єм в опуклій геометрії — невід'ємне число, яке співставляється набору з $n$ опуклих тіл в $n$-мірному Евклідовому просторі. Число залежить від розмірів тіл та їх взаємного положення.

Змішаний об'єм набору $K_1,K_2,\dots ,K_n$ зазвичай позначається як

$V(K_1,K_2,\dots ,K_n)$.

Визначення

Нехай $K_1,K_2,\dots ,K_n$ набір з $n$ опуклих тіл в ${ℝ}^n$ і ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ додатних дійсних чисел. Позначимо через $v({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ об'єм тіла

${\lambda }_1\cdot K_1+{\lambda }_2\cdot K_2+\dots +{\lambda }_n\cdot K_n,$

де "$+$"означає суму Мінковського і

${\lambda }_i\cdot K_i=\{\lambda \cdot x\mid x\in K_i\}.$

Функція $v({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ є однорідним многочленом степені $n$. Коефіцієнт цього многочлена при ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot \dots \cdot {\lambda }_n$ за визначенням дорівнює $n!\cdot V(K_1,K_2,\dots ,K_n)$.

Зауважимо, що

$v({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n=1}^{n}V(K_{i_1},K_{i_2},\dots ,K_{i_n})\cdot {\lambda }_{i_1}\cdot {\lambda }_{i_2}\cdot \dots \cdot {\lambda }_{i_n}.$

Властивості

• Для довільних невід'ємних чисел ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$,

  $V({\lambda }_1\cdot K_1,{\lambda }_2\cdot K_2,\dots ,{\lambda }_n\cdot K_n)={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot \dots \cdot {\lambda }_n\cdot V(K_1,K_2,\dots ,K_n)$

• Змішаний об'єм інваріантний відносно паралельних переміщень тіл в наборі.
• Змішаний об'єм монотонний з включенням тіл.
• Змішаний об'єм неперервний відносно метрики Гаусдорфа.
• Змішаний об'єм невід'ємний.
  • Більше того, $V(K_1,K_2,\dots ,K_n)>0$ тільки тоді, коли в кожному $K_i$ можна провести по відрізку так, щоб ці відрізки були

лінійно незалежні.

• Для невід'ємного цілого $k⩽n$ змішаний об'єм $n-k$ копій опуклого тіл $K$ в ${ℝ}^n$ і $k$ копій одиничної кулі виражається через $k$-у середню поперечну міру $K$. Зокрема
  • Змішаний об'єм набору з $n$ копій $K$ дорівнює звичайному об'єму $K$.
  • Змішаний об'єм набору з $n-1$ копій $K$ і одиничної кулі дорівнює площі поверхні $K$.
• Типове число рішень системи поліноміальних рівнянь $f_1=f_2=\dots =f_n=0$ дорівнює змішаному об'єму Шаблон:Нп$f_i$.
• нерівність Мінковського

  $V^n(K,L,\dots ,L)⩾V(K)\cdot V^{n-1}(L)$

• нерівність Александрова — Фенхеля

  $V(K_1,K_2,K_3,\dots ,K_n)⩾\sqrt{V(K_1,K_1,K_3,\dots ,K_n)\cdot V(K_2,K_2,K_3,\dots ,K_n)}.$